"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Квадрат гипотенузы, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону, вычисляют диагонали и расстояния, а также проверяют, является ли треугольник прямоугольным. Главное — правильно определить гипотенузу и выбрать нужную форму формулы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, один угол которого прямой, то есть равен 90°. Назовём этот угол, например, ∠A. Две стороны, образующие ∠A, являются сторонами, по которым удобно отличать катеты от третьей стороны.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. В треугольнике с прямым углом A катетами будут стороны AB и AC. Их длины обычно обозначают a и b.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Если прямой угол находится при вершине A, гипотенуза — сторона BC, а её длину обозначают c. Такое расположение, а не порядок букв, определяет название стороны.
Теорема Пифагора утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. При обозначениях a и b для катетов и c для гипотенузы получаем c² = a² + b². Это равенство помогает находить неизвестную сторону.
На рисунке сначала ищут прямой угол, а затем проводят взгляд к противоположной стороне: именно она является гипотенузой. Две стороны, соединяющие концы этого угла, — катеты. Такое различие нужно потому, что в формуле c² = a² + b² гипотенуза занимает особое место и не может быть выбрана произвольно.
Обоснование теоремы можно увидеть через площади квадратов. На каждой стороне прямоугольного треугольника строят квадрат: площадь квадрата на гипотенузе равна c², а площади квадратов на катетах равны a² и b². Разложив большой квадрат или сравнив его части, получают, что площадь первого квадрата равна сумме площадей двух других: c² = a² + b².
Если известны оба катета, теорема сразу даёт квадрат гипотенузы. Чтобы получить саму длину, нужно извлечь квадратный корень: c = √(a² + b²). Берут не отрицательный, а положительный корень, потому что длина стороны положительна.
Если неизвестен катет, его квадрат находят переносом другого слагаемого в равенстве. Так появляются формулы a² = c² − b² и b² = c² − a², а затем a = √(c² − b²) или b = √(c² − a²). Под корнем должно получиться неотрицательное число.
Теорема имеет и обратное утверждение. Если для трёх сторон наибольшая длина c удовлетворяет равенству c² = a² + b², то угол напротив стороны c прямой, поэтому треугольник прямоугольный. Проверять нужно именно наибольшую сторону: она может быть гипотенузой.
| Что требуется найти или проверить | Соотношение | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Найти гипотенузу по двум катетам | c = √(a² + b²) | c — сторона напротив прямого угла |
| Найти катет по гипотенузе и другому катету | a = √(c² − b²) или b = √(c² − a²) | Из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета |
| Проверить, является ли треугольник прямоугольным | c² = a² + b² | c должна быть наибольшей стороной |
| Определить, какая сторона — гипотенуза | Сторона напротив угла 90° | Она длиннее каждого катета |
Сначала определите, какая величина неизвестна, и выберите строку таблицы. Затем подставьте длины сторон, выполните действия с квадратами и только после этого извлеките корень, если ищете длину.
При проверке прямоугольности не нужно заранее знать расположение углов. Достаточно взять наибольшую сторону за предполагаемую гипотенузу и проверить равенство.
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Требуется найти гипотенузу. Обозначим её длину через c, потому что она лежит напротив прямого угла.
Ответ: гипотенуза равна 10 см. Полученная длина больше каждого катета, поэтому результат согласуется со свойствами прямоугольного треугольника.
Гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Нужно найти второй катет, обозначим его через b. Поскольку неизвестен катет, применяем вычитание, а не сложение квадратов.
Ответ: второй катет равен 12 см. Проверка показывает: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
Стороны треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см. Нужно установить, является ли он прямоугольным. Наибольшая сторона — 15 см, поэтому только её можно проверить как гипотенузу.
Ответ: треугольник прямоугольный. Прямой угол лежит напротив стороны длиной 15 см.
При подстановке иногда принимают первую записанную сторону за гипотенузу. Это неверно, потому что гипотенуза определяется прямым углом, а не порядком чисел. Проверьте себя: найдите сторону напротив угла 90°.
Для нахождения катета некоторые складывают квадраты известных сторон. Так делают по формуле для гипотенузы, но здесь неизвестен катет, поэтому нужно вычесть квадрат другого катета из квадрата гипотенузы. После записи формулы убедитесь, что справа стоит c² − a² или c² − b².
Иногда после вычисления получают, например, b² = 144 и записывают ответ 144 см. Это квадрат длины, а не сама длина. Проверьте последний шаг: из найденного квадрата нужно извлечь корень.
При проверке прямоугольности возводят в квадрат не наибольшую сторону. Тогда равенство может быть записано неправильно, ведь гипотенузой бывает только самая длинная сторона. Перед вычислениями сравните все три длины.
Для работы с теоремой нужны умения возводить числа в квадрат, извлекать квадратный корень и преобразовывать равенства. Также необходимо знать элементы прямоугольного треугольника: углы, стороны и их взаимное расположение.
Теорема Пифагора применяется в задачах на расстояния, высоты и диагонали фигур. Позже она поможет находить расстояние между точками координатным методом и станет основой для понимания тригонометрии.
Как быстро определить гипотенузу на рисунке?
Найдите прямой угол: гипотенуза лежит напротив него. Она не примыкает к прямому углу и является самой длинной стороной треугольника.
Почему гипотенуза всегда длиннее каждого катета?
Она лежит напротив самого большого угла — прямого. По теореме Пифагора её квадрат равен сумме положительных квадратов катетов, поэтому он больше квадрата каждого катета.
Как найти катет, если известны гипотенуза и другой катет?
Из квадрата гипотенузы вычтите квадрат известного катета: a² = c² − b². Затем извлеките квадратный корень из полученного числа.
Можно ли проверить по длинам сторон, что треугольник прямоугольный?
Да. Возведите в квадрат наибольшую сторону и сравните результат с суммой квадратов двух других сторон. Если равенство выполняется, треугольник прямоугольный.
Что делать, если при вычислении длины стороны получается отрицательное число под корнем?
Проверьте, правильно ли выбраны гипотенуза и катеты, а также вычисления. Для настоящего прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы не может быть меньше квадрата известного катета.
2.4 Теорема Пифагора
