2.2 Иррациональные числа

Определения и обозначения

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Иными словами, его нельзя получить делением одного целого числа на другое. Примеры таких чисел — √2 и π.

Рациональное число — число, которое можно представить дробью m/n с целыми m и n, где n ≠ 0. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные десятичные дроби. Это понятие помогает сравнивать числа и отличать дроби от иррациональных значений.

Действительные числа — все рациональные и иррациональные числа вместе. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, поэтому на ней можно изображать оба вида чисел. Это множество охватывает все числа, с которыми работают при измерении величин и сравнении значений.

Бесконечная непериодическая десятичная дробь — запись, в которой цифры после запятой не заканчиваются и не повторяются постоянно одним и тем же блоком. Такая запись соответствует иррациональному числу. По ней удобно распознавать иррациональность, хотя выписать все цифры невозможно.

Как это устроено

Возьмём квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора квадрат его диагонали равен 1² + 1² = 2, поэтому длина диагонали равна √2. Предположим, что √2 можно записать как несократимую дробь m/n. Тогда m² = 2n², значит, m² чётно и m тоже чётно; подставив m = 2k, получим, что n также чётно. Числитель и знаменатель оказались оба делятся на 2, а это противоречит тому, что дробь несократима.

Конечная десятичная дробь рациональна: например, 0,75 = 75/100. Бесконечная периодическая запись тоже рациональна, потому что повторяющийся блок можно выразить дробью, например 0,333… = 1/3. При делении целых чисел остаток может принимать лишь конечное число значений, поэтому остатки повторяются или деление заканчивается. У иррационального числа цифры после запятой не заканчиваются и не образуют периода.

Рациональные и иррациональные числа составляют вместе действительные числа. Между ними нет отдельного промежутка на числовой прямой: они располагаются на одной прямой, и каждой точке соответствует ровно одно действительное число. Например, √2 находится между 1 и 2, хотя не является рациональным. Такое объединение позволяет обозначать точками прямой любые длины и значения, которые встречаются в задачах.

Иррациональное число можно приближённо находить, уточняя его десятичную запись. Например, √2 лежит между 1 и 2, потому что 1² < 2 < 2²; затем проверяют десятые, сотые и следующие разряды, возводя границы в квадрат. Так получают конечные приближения, но они не становятся точным значением корня. Чем больше знаков после запятой найдено, тем уже промежуток, в котором находится число.

Сумма рационального и иррационального числа обязательно иррациональна: если бы сумма была рациональной, вычитание рационального слагаемого сделало бы иррациональное число рациональным. Произведение иррационального числа на ненулевое рациональное тоже иррационально, потому что деление произведения на этот множитель вернуло бы иррациональное число. Но для двух иррациональных чисел такого правила нет: √2 + (−√2) = 0, а √2 · √2 = 2. Поэтому каждый такой результат нужно проверять отдельно.

Рациональные, иррациональные и действительные числа

Сначала определите, можно ли записать число дробью из целых чисел, а затем проверьте его десятичную запись. Рациональные и иррациональные числа не пересекаются, но оба входят в действительные. Поэтому последний столбец объединяет примеры из двух предыдущих.

Разбор задач

1. Определить вид чисел

Определим, какие из чисел 0,75; √2; −3; 0,121221222… рациональные, а какие иррациональные. Нужно проверить, можно ли представить каждое число дробью из целых чисел, используя его запись. Конечная десятичная дробь и целое число рациональны; для бесконечной записи нужно выяснить, есть ли период.

1. 0,75 = 75/100 = 3/4, поэтому число рациональное.
2. √2 нельзя представить дробью из целых чисел, поэтому оно иррациональное.
3. −3 = −3/1, значит, это рациональное число.
4. В записи 0,121221222… число единиц между двойками постепенно увеличивается, поэтому постоянного периода нет. Запись бесконечна и непериодична, значит, число иррациональное.

Ответ: рациональные числа — 0,75 и −3; иррациональные — √2 и 0,121221222….

2. Сравнить √5 и 2,3

Нужно сравнить √5 и 2,3 и заключить корень между подходящими десятичными дробями. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты: при возведении в квадрат положительных чисел порядок сохраняется. Проверим соседние десятичные границы 2,2 и 2,3.

1. Вычислим квадраты: 2,2² = 4,84, а 2,3² = 5,29.
2. Так как 4,84 < 5 < 5,29, получаем 2,2 < √5 < 2,3.
3. Следовательно, √5 меньше 2,3. При необходимости можно уточнить границу: 2,23² = 4,9729, а 2,24² = 5,0176, поэтому 2,23 < √5 < 2,24.

Ответ: 2,23 < √5 < 2,24, следовательно, √5 < 2,3.

3. Доказать, что √2 иррационально

Докажем от противного: временно предположим, что √2 рационально. Тогда √2 = m/n, где дробь несократима, а m и n — целые числа, n ≠ 0. Если из этого предположения следует невозможность, исходное предположение неверно.

1. Возведём равенство в квадрат: 2 = m²/n², откуда m² = 2n².
2. Число m² чётное, поэтому m чётно. Запишем m = 2k.
3. Подставим: 4k² = 2n², значит, n² = 2k². Следовательно, n тоже чётно.
4. Получается, что и m, и n делятся на 2. Это невозможно для несократимой дроби m/n.

Ответ: предположение привело к противоречию, поэтому √2 — иррациональное число.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Например, 0,333… бесконечна, но периодична и равна 1/3. Ошибку допускают, если замечают только бесконечность записи и забывают проверить повторение цифр. Чтобы проверить себя, выясните, есть ли постоянный период после некоторого места.

Ошибка: записывать √9 как иррациональное число. Квадратный корень из полного квадрата может быть целым: √9 = 3, а 3 = 3/1. При проверке вычислите корень, если подкоренное число — полный квадрат; не делайте вывод об иррациональности только по знаку √.

Ошибка: утверждать, что сумма или произведение любых двух иррациональных чисел иррациональны. Примеры √2 + (−√2) = 0 и √2 · √2 = 2 показывают обратное: оба результата рациональны. Ошибку легко допустить, распространив свойства операций с рациональным и иррациональным числами на любую пару. Проверяйте результат конкретным преобразованием.

Ошибка: считать, что √2 = 1,41. Число 1,41 — лишь приближение: его квадрат равен 1,9881, а не 2. Такую путаницу вызывает округлённая запись, в которой не видно пропущенных цифр. Для точного ответа оставляйте √2, а десятичное значение используйте только с пометкой «приближённо».

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о рациональных числах, обыкновенных и десятичных дробях, свойствах квадратного корня и сравнении чисел. В частности, при сравнении положительных корней полезно уметь возводить границы в квадрат. Эти навыки помогают отличать точное значение от приближения.

Иррациональные числа встречаются при работе с корнями и преобразовании выражений, а также при решении уравнений и неравенств. Понятие действительных чисел понадобится при изучении функций, координат и числовых промежутков. Оно позволяет обсуждать значения и точки на прямой, даже если их нельзя выразить обыкновенной дробью.

Что запомнить

• Иррациональное число нельзя представить дробью двух целых чисел.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой.
• √2, √3 и π — примеры иррациональных чисел.
• Сумма рационального и иррационального числа иррациональна.
• Десятичное приближение иррационального числа не заменяет само число.