2.1 Задача о нахождении стороны квадрата

Определения и обозначения

Квадрат — фигура с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами. Если его сторона равна x, то площадь вычисляют по формуле S = x². Именно эта формула позволяет перейти от геометрической задачи к уравнению.

Сторона квадрата — положительная длина отрезка. В задаче её обычно обозначают буквой x, потому что это неизвестная величина. Найти сторону значит определить такое положительное число, которое при возведении в квадрат даёт известную площадь.

Уравнение x² = a записывает условие: квадрат числа x равен заданному числу a. Решая его, мы ищем все числа, подходящие этому условию. Затем из найденных значений выбираем то, которое соответствует смыслу задачи о длине.

Иррациональное число нельзя представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. При площади 2 возникает число √2, потому что его квадрат равен 2. Такое число существует, хотя привычной конечной или периодической дробью его записать нельзя.

Как это устроено

Пусть сторона квадрата равна x, а его площадь известна и равна S. Формула площади сразу даёт S = x², или x² = S. Так геометрическое условие превращается в алгебраическую задачу: нужно найти число, квадрат которого известен.

Уравнение может иметь два решения, потому что противоположные числа после возведения в квадрат дают один и тот же результат: 3² = 9 и (−3)² = 9. Однако сторона — это длина, а длина направлением не обладает и отрицательной быть не может. Поэтому в задаче о квадрате оставляют положительное решение.

Рассмотрим площадь 2. Нужно найти число, квадрат которого равен 2, но среди целых чисел такого числа нет: 1² = 1, а 2² = 4. Значит, для решения приходится расширить набор известных чисел и ввести обозначение √2 для положительного числа, квадрат которого равен 2.

Сравнение с квадратами целых чисел помогает оценить это число без точного вычисления. Поскольку 1² < 2 < 2², после извлечения квадратного корня получаем 1 < √2 < 2. Поэтому сторона квадрата площадью 2 больше 1, но меньше 2.

Число √2 нельзя записать обычной дробью, то есть оно иррациональное. Это не означает, что число не существует или что его нельзя измерить: его можно задавать корнем, сравнивать и находить его приближённое значение. Задача о квадрате показывает, зачем математике понадобилось новое обозначение для положительного числа, квадрат которого равен неотрицательному числу.

Что можно заключить из уравнения x² = a

Сначала определите, положительно, равно нулю или отрицательно число a. Затем найдите решения уравнения и проверьте, какое из них имеет смысл для длины. Таблица помогает не перепутать алгебраические решения с геометрическим ответом.

Разбор задач

1. Площадь квадрата равна 9 см². Найдите его сторону.

Неизвестна сторона, поэтому обозначим её через x. Площадь выражается как квадрат стороны, значит, известное значение 9 нужно поставить вместо S. После решения уравнения возьмём только положительный результат.

1. Составим уравнение: x² = 9.
2. Найдём два числа, квадраты которых равны 9: x = 3 и x = −3.
3. Отрицательное значение отбросим, так как сторона является длиной.

Ответ: 3 см.

2. Площадь квадрата равна 2 м². Между какими целыми числами находится его сторона?

Сторона равна положительному числу, квадрат которого равен 2, то есть √2. Точное значение здесь не нужно находить: достаточно сравнить площадь с квадратами соседних целых чисел. Это покажет границы, между которыми расположена сторона.

1. Возьмём соседние целые числа 1 и 2.
2. Сравним их квадраты с площадью: 1² = 1, 2² = 4.
3. Так как 1 < 2 < 4, получаем 1² < 2 < 2², значит, 1 < √2 < 2.

Ответ: сторона находится между 1 м и 2 м.

3. Докажите, что сторону квадрата площадью 2 нельзя выразить рациональным числом.

Предположим обратное: пусть сторона равна несократимой дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Тогда (m/n)² = 2, откуда m² = 2n². Из этого равенства следует, что m² чётно, а значит, чётно и m. Подставив m = 2k, получаем, что n², а затем и n, тоже чётны, что противоречит несократимости дроби.

1. Запишем предполагаемую сторону как m/n.
2. Возведём дробь в квадрат: m²/n² = 2, поэтому m² = 2n².
3. Сделаем вывод: m чётно, затем n чётно.
4. Получим противоречие: числитель и знаменатель нельзя одновременно сократить на 2.

Ответ: сторона равна √2 и является иррациональным числом.

Типичные ошибки

Приравнивают сторону к площади. Ошибка появляется, когда забывают формулу площади квадрата. Нужно записывать S = x², а затем проверять ответ подстановкой: квадрат найденной стороны должен совпасть с площадью.

Берут отрицательное решение. В уравнении оно действительно подходит, потому что его квадрат положителен. Но длина не может быть отрицательной, поэтому в геометрическом ответе оставляют только положительное значение.

Считают, что x² = a всегда имеет решение. Такой вывод неверен при a < 0: квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Перед решением сравните знак правой части с возможными значениями квадрата.

Полагают, что дробью невыразимое число не существует. Рациональные числа — только часть числового ряда. Если число нельзя записать дробью, это означает его иррациональность, а не отсутствие; например, √2 задаётся условием (√2)² = 2.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать формулу площади квадрата и понимать, что значит возвести число в квадрат. Также понадобятся навыки решения простых уравнений вида x² = a и сравнения чисел с квадратами целых чисел. Дальше эти знания приведут к изучению квадратного корня и иррациональных чисел.

Что запомнить

• Площадь квадрата со стороной x равна x².
• Для нахождения стороны по площади составляют уравнение x² = S.
• Сторона квадрата — положительное число.
• При положительном a уравнение x² = a имеет два противоположных решения.
• Квадрат действительного числа не бывает отрицательным.
• Не всякое число, необходимое для решения задачи, выражается рациональной дробью.