23. Решение задач с помощью квадратных уравнений

Определения и обозначения

Математическая модель — запись условия задачи с помощью величин, связей между ними и уравнения. Проще говоря, это перевод слов на язык математики: известные данные и отношения между ними становятся выражениями и равенством. Модель нужна, чтобы решать задачу не наугад, а опираясь на точные связи.

Неизвестная величина — величина, которую обозначают переменной и значение которой требуется найти. Обычно используют букву x, но можно выбрать и другую, если понятно, что она означает. Переменную удобно выбирать так, чтобы остальные величины было легко через неё выразить.

Корень уравнения — значение неизвестной, при котором уравнение становится верным. После решения уравнения корень показывает возможное значение величины, но ещё не гарантирует, что оно подходит задаче. Поэтому его соотносят с исходным условием и проверяют.

Посторонний корень — корень уравнения, который не подходит по смыслу задачи или нарушает ограничения на величины. Например, отрицательная длина не может быть стороной прямоугольника. Такие значения возникают потому, что уравнение может допускать больше значений, чем исходная ситуация.

Как это устроено

Сначала выбирают неизвестную величину — обычно ту, через которую удобно выразить остальные. Если ширина прямоугольника неизвестна, а длина на 2 см больше, обозначение ширины через x сразу даёт длину x + 2. Удачный выбор сокращает число переменных и помогает не запутаться в условии.

Затем связанные величины записывают через выбранную переменную и составляют равенство из известного условия. Например, площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому для сторон x и x + 2 записывают x(x + 2) = S. Так каждое выражение в уравнении получает смысл из задачи, а не появляется произвольно.

Квадратное уравнение возникает, если в условии перемножаются выражения с неизвестной или используется квадрат величины. При раскрытии скобок в произведении x(x + 2) появляется x². В задачах о движении и работе квадратное уравнение может возникнуть после подстановки дробных выражений и преобразования равенства.

Когда уравнение составлено, его решают известным способом: например, разложением на множители или по формуле корней. Но решение уравнения даёт лишь возможные значения неизвестной. Проверка нужна потому, что при преобразованиях могли сохраниться значения, которые не подходят исходной ситуации.

Каждый корень сравнивают с областью допустимых значений — условиями, при которых величины имеют смысл и выражения определены. В задаче о времени оно должно быть положительным, а знаменатель дроби не может равняться нулю. Затем формулируют именно ответ на вопрос задачи и указывают единицы измерения: без этого набор корней ещё не является решением задачи.

Этапы решения задачи с помощью квадратного уравнения

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, только когда предыдущий понятен. Особенно внимательно проверяй выражения перед составлением уравнения и корни после его решения. Такая проверка помогает заметить ошибку до того, как она попадёт в ответ.

Разбор задач

Задача 1. Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна 48 см², а его длина на 2 см больше ширины. Нужно найти стороны. Обозначим ширину через x сантиметров; тогда длина равна x + 2 сантиметра, а площадь — произведению этих сторон. Поскольку стороны должны быть положительными, x > 0.

1. Запишем условие о площади: x(x + 2) = 48.
2. Перенесём всё в левую часть: x² + 2x − 48 = 0. Разложим на множители: (x − 6)(x + 8) = 0, поэтому x = 6 или x = −8.
3. Ширина не может быть отрицательной, значит, подходит x = 6. Длина равна 6 + 2 = 8 см.

Ответ: стороны прямоугольника — 6 см и 8 см.

Задача 2. Движение теплохода

Теплоход прошёл 36 км по течению и 24 км против течения за 3 часа; скорость течения равна 2 км/ч. Пусть x км/ч — собственная скорость теплохода. По течению скорость равна x + 2, против течения — x − 2, поэтому необходимо x > 2.

1. Время на каждом участке равно расстоянию, делённому на скорость. Запишем сумму времён: 36/(x + 2) + 24/(x − 2) = 3.
2. Умножим уравнение на (x + 2)(x − 2): 36(x − 2) + 24(x + 2) = 3(x² − 4). После упрощения получим x² − 20x + 4 = 0.
3. По формуле корней получаем x = 10 ± 4√6. Значение 10 − 4√6 меньше 2, поэтому не удовлетворяет условию x > 2. Подходит x = 10 + 4√6 км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода — 10 + 4√6 км/ч (примерно 19,8 км/ч).

Задача 3. Совместная работа

Два рабочих выполняют заказ вместе за 6 часов, причём первый справляется один на 5 часов быстрее второго. Обозначим через x время работы первого, более быстрого рабочего. Тогда второй выполняет заказ за x + 5 часов, а производительности рабочих равны 1/x и 1/(x + 5) заказа в час.

1. При совместной работе производительности складываются: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6. Время x должно быть положительным.
2. Умножим уравнение на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5). После переноса получим x² − 7x − 30 = 0.
3. Разложим на множители: (x − 10)(x + 3) = 0. Корни — 10 и −3; отрицательное время не подходит, поэтому x = 10, а время второго рабочего равно 15 часам.

Ответ: первый рабочий выполняет заказ за 10 часов, второй — за 15 часов.

Типичные ошибки

Неудобный выбор неизвестной усложняет выражения и повышает риск перепутать величины. Так бывает, если выбрать величину, которую проще выразить через другую. Перед вычислениями проверь: можно ли ясно записать остальные данные через выбранную переменную и понятен ли её смысл.

Если сразу составлять уравнение, не выразив связанные величины, легко перепутать, например, скорость и время. Тогда равенство не будет описывать условие, даже если алгебраические действия выполнены верно. Сначала запиши, что означает каждое выражение, и проверь, соответствует ли оно формуле или связи из задачи.

Нельзя приравнивать несвязанные величины или складывать выражения разного смысла: например, расстояние и скорость. Такую ошибку допускают, когда переносят числа из текста в уравнение, не объясняя каждое действие. Проверка простая: обе части равенства должны выражать одно и то же, а складываемые величины — быть совместимыми.

Запись обоих корней в ответ неверна, если один из них нарушает условие. Отрицательное число может быть корнем уравнения, но не подходить на роль длины, времени или скорости. Подставь каждый корень в ограничения и оцени его по смыслу; в ответ включай только допустимые значения.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь решать квадратные уравнения и находить все их корни. Также пригодятся формулы и зависимости для движения, совместной работы и геометрических величин: например, связь расстояния, скорости и времени или формула площади прямоугольника. Составление уравнений по условию развивает математическое моделирование и пригодится при изучении систем уравнений, где несколько неизвестных связаны несколькими условиями.

Что запомнить

• Сначала выбери неизвестную, затем вырази через неё остальные нужные величины.
• Каждое слагаемое и равенство в уравнении должны соответствовать условию задачи.
• Реши составленное уравнение и найди все его корни.
• Проверь каждый корень по ограничениям задачи.
• Ответь на вопрос задачи, указав подходящие значения и единицы измерения.