"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а их произведение — q. Эти соотношения помогают проверить уже найденные корни, иногда подобрать их без вычисления дискриминанта и составить уравнение по известным корням. Для неприведённого уравнения сначала учитывают коэффициент при x²: тогда сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приведённое квадратное уравнение — это уравнение вида x² + px + q = 0. Здесь коэффициент при x² равен 1, а p и q — числа, называемые коэффициентами уравнения. Такой вид удобен для применения теоремы Виета: сумма и произведение корней сразу выражаются через p и q.
Корнями квадратного уравнения называют значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство. Например, если при подстановке числа вместо x левая часть становится равной нулю, это число — корень уравнения. Знание этого смысла помогает проверять ответ подстановкой, а не только вычислениями.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна −p. Если корни обозначены x₁ и x₂, это записывают как x₁ + x₂ = −p. По этой связи можно узнать сумму корней, даже не находя каждый из них отдельно.
Произведение корней приведённого квадратного уравнения равно q, то есть x₁x₂ = q. Это вторая связь корней с коэффициентами уравнения. Вместе с суммой она позволяет проверять корни и искать подходящую пару чисел.
Если квадратное уравнение имеет корни x₁ и x₂, его квадратный трёхчлен можно разложить на множители: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Квадратный трёхчлен — это выражение, в котором наибольшая степень переменной равна двум. Каждый множитель обращается в ноль при одном из корней, поэтому произведение множителей и задаёт то же уравнение. Коэффициент при x² равен 1, так как перемножаются два выражения с коэффициентом 1 при x.
Раскроем скобки: (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Теперь сравним коэффициенты этой записи с x² + px + q. При x стоит −(x₁ + x₂), значит, −(x₁ + x₂) = p и x₁ + x₂ = −p. Свободный член равен x₁x₂ и одновременно q, поэтому x₁x₂ = q.
Теорема Виета утверждает: если приведённое квадратное уравнение имеет корни x₁ и x₂, то их сумма равна −p, а произведение равно q. Здесь корни рассматриваются как корни именно данного уравнения; при необходимости они могут совпадать. Если действительных корней нет, найти такую пару действительных чисел для подстановки нельзя, поэтому при подборе действительных корней сначала учитывают наличие корней.
Связь работает и в обратную сторону. Пусть два числа имеют сумму S и произведение P; составим выражение (x − x₁)(x − x₂). После раскрытия скобок оно равно x² − Sx + P, поэтому уравнение с этими корнями — x² − Sx + P = 0. Иначе говоря, коэффициенты такого уравнения равны p = −S и q = P, а его корни действительно являются заданными числами.
Для подбора целых корней приведённого уравнения ищут пары целых чисел, произведение которых равно q. Из этих пар подходят только те, у которых сумма равна −p; знак корней при этом тоже важен. Найденную пару можно проверить по обеим формулам Виета, а затем подставить числа в уравнение. Поэтому теорема помогает не только искать корни, но и быстро замечать ошибку в уже выполненном решении.
| Вид уравнения | Сумма корней | Произведение корней |
|---|---|---|
| Приведённое: x² + px + q = 0 | −p | q |
| Неприведённое: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 | −b/a | c/a |
Для приведённого уравнения можно сразу читать сумму и произведение из таблицы. Неприведённое уравнение сначала можно разделить на a, чтобы получить приведённый вид. Следите, чтобы делились все коэффициенты, а не только один из них.
Задача 1. Найти сумму и произведение корней уравнения x² − 5x + 6 = 0. Корни вычислять не требуется: достаточно сравнить уравнение с видом x² + px + q = 0. Так проще не допустить лишних ошибок при нахождении отдельных корней.
Ответ: сумма равна 5, произведение равно 6.
Задача 2. Составить приведённое квадратное уравнение с корнями 2 и −3. Сначала найдём сумму и произведение чисел, а затем используем обратные соотношения Виета. При записи уравнения коэффициент при x будет противоположен сумме корней.
Ответ: x² + x − 6 = 0. Проверка: сумма 2 и −3 равна −1, произведение равно −6, как и требуется.
Задача 3. Решить уравнение x² − 7x + 12 = 0 с помощью теоремы Виета. Здесь p = −7, q = 12, значит, нужны два числа с суммой 7 и произведением 12. Среди пар множителей числа 12 проверим пары с одинаковыми знаками и выберем подходящую по сумме.
Ответ: 3 и 4. Оба числа обращают левую часть уравнения в ноль, поэтому подбор подтверждён.
Первая ошибка — записать сумму корней как p вместо −p. Её допускают, когда запоминают формулу, но не учитывают минус перед суммой при раскрытии скобок: коэффициент при x равен −(x₁ + x₂). Проверьте знак, раскрыв (x − x₁)(x − x₂) и сравнив коэффициенты.
Вторая ошибка — перепутать сумму и произведение: сумму связывают со свободным членом, а произведение — с коэффициентом при x. Путаница возникает из-за того, что обе величины стоят рядом в формулах Виета. Чтобы проверить себя, снова раскройте скобки: при x стоит минус суммы, а свободный член — произведение.
Третья ошибка — применить формулы для приведённого уравнения напрямую к ax² + bx + c = 0. Так делают, забывая, что коэффициент при x² здесь не равен 1. Разделите все члены на a или используйте формулы суммы −b/a и произведения c/a, затем проверьте, что a ≠ 0.
Четвёртая ошибка — назвать корнями любые числа с подходящей суммой и произведением, не уточнив уравнение. Такие числа соответствуют уравнению, составленному из этой суммы и произведения, но могут не подходить к другому уравнению. Подставьте числа в исходное уравнение и убедитесь, что каждое обращает его левую часть в ноль.
Для работы с теоремой Виета полезно уметь определять коэффициенты квадратного уравнения, находить корни по формуле и раскладывать квадратный трёхчлен на множители. Разложение объясняет, почему в формулах появляются сумма и произведение корней. Сама теорема помогает проверять корни, раскладывать квадратные трёхчлены и составлять квадратное уравнение по заданным корням. Это связывает решение уравнений с преобразованием выражений.
Почему сумма корней равна −p, а не p?
При раскрытии скобок в записи (x − x₁)(x − x₂) коэффициент при x получается равным −(x₁ + x₂). Сравнивая его с коэффициентом p в уравнении x² + px + q = 0, получаем x₁ + x₂ = −p.
Как быстро найти корни уравнения с помощью теоремы Виета?
Для уравнения x² + px + q = 0 подберите два числа: их произведение должно быть q, а сумма — −p. Если такая пара находится легко, она и будет парой корней. Подстановкой в исходное уравнение можно проверить результат.
Можно ли применять теорему Виета к неприведённому уравнению?
Да. Для уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a. Эти формулы получаются после деления уравнения на a.
Как составить уравнение, если известны его корни?
Найдите сумму S и произведение P заданных корней. Тогда приведённое уравнение имеет вид x² − Sx + P = 0. Проверьте знаки: коэффициент при x противоположен сумме корней.
Всегда ли по теореме Виета можно найти корни устно?
Нет. Подбор удобен, если корни — простые целые или рациональные числа. Если пару быстро найти не удаётся, используйте формулу корней или дискриминант, а теоремой Виета проверьте ответ.
24. Теорема Виета
