21. Неполные квадратные уравнения

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Эти числа называют коэффициентами: a стоит при x², b — при x, а c является свободным членом. Условие a ≠ 0 нужно, потому что иначе в уравнении не было бы x² и оно перестало бы быть квадратным. Общий вид помогает определить, к какому типу относится уравнение.

Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором коэффициент b или c равен нулю либо оба равны нулю. Например, в уравнении 4x² − 8x = 0 свободный член равен нулю, а в уравнении 4x² − 9 = 0 равен нулю коэффициент при x. Отсутствующий член не записывают, но его коэффициент считают равным нулю. Это определение позволяет выбрать более короткий способ решения.

Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Чтобы проверить корень, вместо x подставляют найденное число в исходное уравнение и выполняют вычисления. Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один или ни одного. Поэтому после преобразований нужно не только найти значения, но и определить, подходят ли они уравнению.

Если произведение двух выражений равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю: из xy = 0 следует x = 0 или y = 0. Это свойство называют свойством нулевого произведения. Оно применимо, когда выражение удалось представить как произведение множителей. В частности, оно помогает решить уравнение ax² + bx = 0, не деля на переменную.

Как это устроено

В общем уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициенты b и c отвечают за слагаемые с x и без x. Если оба равны нулю, остаётся ax² = 0; если c = 0, получается ax² + bx = 0; если b = 0, получается ax² + c = 0. Именно эти три случая и называют неполными квадратными уравнениями. Во всех них a ≠ 0, иначе слагаемого с x² не было бы.

В уравнении ax² = 0 коэффициент a не равен нулю, поэтому обе части можно разделить на a. Получится x² = 0, а квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Значит, единственный корень — x = 0. Деление здесь упрощает уравнение и не меняет его корней, поскольку делитель ненулевой.

В уравнении ax² + bx = 0 оба слагаемых содержат x, поэтому его удобно вынести за скобки: x(ax + b) = 0. Теперь левая часть является произведением, равным нулю, и каждый множитель можно приравнять к нулю. Из первого получаем x = 0, из второго ax + b = 0, откуда x = −b/a. Если b = 0, оба значения совпадают, поэтому разных корней будет только один.

В уравнении ax² + c = 0 сначала перенесём c в правую часть, а затем разделим обе части на a: x² = −c/a. Обозначим правую часть числом k: квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому при k > 0 есть два противоположных корня, при k = 0 — один корень, а при k < 0 корней среди действительных чисел нет. Так знак k сразу показывает количество корней. Если k положительно, оба корня нужно записать со знаками плюс и минус.

Перед делением проверь, что коэффициент, на который делишь, не равен нулю: в квадратном уравнении это следует из условия a ≠ 0. Нельзя без проверки делить на выражение с переменной, потому что оно может оказаться нулём и тогда преобразование потеряет корень. Перед извлечением квадратного корня определи знак правой части уравнения x² = k. Такой порядок действий помогает выбрать верный способ и не допустить недопустимого преобразования.

Виды неполных квадратных уравнений и способы их решения

Сначала найди нулевые коэффициенты и выбери соответствующую строку таблицы. Затем выполни указанное преобразование и определи корни; в строке ax² + bx = 0 сравни полученные значения, потому что они могут совпасть. В последнем случае число корней зависит от знака выражения −c/a.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение 5x² = 0. Здесь отсутствуют слагаемые с x и свободный член, поэтому уравнение относится к виду ax² = 0. Коэффициент при x² равен 5 и не равен нулю. Значит, можно разделить обе части на 5, не меняя множества корней.

1. Разделим обе части уравнения на 5: x² = 0.
2. Квадрат равен нулю только при x = 0.
3. Проверка: 5 · 0² = 0, равенство верно.

Ответ: x = 0.

Задача 2. Решить уравнение 3x² − 12x = 0. Оба слагаемых содержат x, поэтому можно вынести его за скобки. Не будем делить обе части на x: такое деление могло бы исключить случай x = 0. После разложения применим свойство нулевого произведения.

1. Вынесем общий множитель x: x(3x − 12) = 0.
2. Приравняем множители к нулю: x = 0 или 3x − 12 = 0.
3. Из второго уравнения получим 3x = 12, значит, x = 4.
4. Проверим: при x = 0 левая часть равна 0; при x = 4 получаем 3 · 16 − 12 · 4 = 48 − 48 = 0.

Ответ: x = 0; x = 4.

Задача 3. Решить уравнение 2x² − 18 = 0 и проверить корни. Переменной в первом степенном слагаемом нет при x¹, значит, это уравнение вида ax² + c = 0. Сначала выразим x² и посмотрим, положительно ли полученное число. Если оно положительно, нужны два противоположных корня.

1. Перенесём 18 вправо: 2x² = 18.
2. Разделим обе части на 2: x² = 9. Правая часть положительна, поэтому x = ±√9, то есть x = 3 или x = −3.
3. Проверим x = 3: 2 · 3² − 18 = 18 − 18 = 0. Проверим x = −3: 2 · (−3)² − 18 = 18 − 18 = 0.

Ответ: x = −3; x = 3.

Типичные ошибки

Ошибка: в уравнении ax² + bx = 0 сразу разделить обе части на x. Так поступают, чтобы быстрее сократить выражение, но при этом теряют возможный корень x = 0, а деление на ноль недопустимо. Вместо этого нужно вынести x за скобки и приравнять каждый множитель к нулю. Проверь решение подстановкой: пропущенное значение может обращать исходное уравнение в верное равенство.

Ошибка: при x² = k, где k > 0, записать только x = √k. Обычно вспоминают арифметический квадратный корень, который неотрицателен, и забывают, что противоположное число имеет тот же квадрат. Правильная запись — x = ±√k. Для проверки возведи оба найденных числа в квадрат.

Ошибка: считать, что при k < 0 уравнение x² = k имеет действительные корни. Такое предположение возникает, если извлекать корень, не проверив знак числа под корнем. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому отрицательное k невозможно получить как x². Проверь знак правой части до извлечения корня.

Ошибка: забыть условие a ≠ 0 или разделить на коэффициент, равный нулю. Это случается, когда коэффициент принимают за ненулевой, не сверив его значение; в таком случае деление недопустимо, а само уравнение может не быть квадратным. Перед преобразованием явно проверь делитель. Если коэффициент при x² равен нулю, сначала нужно заново определить вид уравнения.

Связь с другими темами

Для решения этих уравнений нужны знания об общем виде квадратного уравнения и умение преобразовывать уравнения: переносить слагаемые и делить обе части на ненулевое число. Также используется свойство произведения, равного нулю, и умение извлекать квадратный корень из неотрицательного числа. Различение двух противоположных корней помогает не пропустить решение. Эти приёмы пригодятся при разложении на множители полных квадратных уравнений и при проверке найденных корней.

Что запомнить

• В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a не равен нулю.
• Неполное квадратное уравнение получается, если b = 0 или c = 0.
• Уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
• В уравнении ax² + bx = 0 удобно вынести x за скобки.
• Если x² = k и k > 0, то x = ±√k.
• Если x² = 0, то x = 0; если x² < 0, действительных корней нет.