§ 8. Квадратное уравнение и его корни

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Условие a ≠ 0 означает, что член с x² действительно присутствует, а уравнение имеет вторую степень. Без этого условия оно могло бы оказаться линейным или вообще не содержать переменную.

Числа a, b и c в записи ax² + bx + c = 0 — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, потому что оно стоит при члене с x²; b — вторым, так как оно стоит при x; c — свободным членом, поскольку не умножается на переменную. Такое обозначение помогает быстро распознать вид уравнения и выбирать способ решения.

Корень квадратного уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, если подстановка числа превращает левую и правую части уравнения в одинаковые числа, это число является корнем. Проверка подстановкой помогает убедиться, что найденный ответ подходит.

Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b = 0 или c = 0. К этому виду относятся ax² + bx = 0, ax² + c = 0 и ax² = 0; если оба коэффициента b и c равны нулю, получаем последний случай. У полного квадратного уравнения оба члена bx и c присутствуют, поэтому в его записи b ≠ 0 и c ≠ 0.

Как это устроено

Квадратное уравнение приводят к виду ax² + bx + c = 0, чтобы все слагаемые оказались в одной части, а справа стоял ноль. Тогда уравнение удобно сравнивать со стандартной записью и находить его коэффициенты. Квадратный член должен сохраняться: если его коэффициент равен нулю, степень уравнения становится меньше двух. Поэтому условие a ≠ 0 отделяет квадратные уравнения от линейных.

Коэффициенты определяют, сопоставляя каждый член стандартной записи с соответствующей степенью x. Если перед x² нет числа, подразумевается множитель 1; если стоит −x, его коэффициент равен −1. Когда уравнение записано иначе, сначала раскройте скобки и перенесите все члены в одну сторону, изменяя знаки при переносе. Например, из x(x − 4) = 1 после раскрытия скобок и переноса получаем x² − 4x − 1 = 0, значит, a = 1, b = −4, c = −1.

Полное и неполное уравнения различаются наличием членов bx и c. Если один из них отсутствует, в записи соответствующий коэффициент равен нулю, и решение часто упрощается. Например, при c = 0 можно вынести x за скобки, а при b = 0 — выразить x² через число. Это позволяет обойтись без общего способа решения, который потребуется для полного уравнения.

В уравнении ax² + bx = 0 оба слагаемых содержат x, поэтому его можно вынести за скобки: x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит, нужно решить два уравнения: x = 0 и ax + b = 0. Второе даёт x = −b/a, поскольку a ≠ 0. Делить исходное уравнение на x опасно: при этом можно потерять корень x = 0.

Если дано ax² + c = 0, перенесите c и разделите обе части на a, которое не равно нулю: получится x² = −c/a. Обозначив число справа через p, можно определить корни по его знаку: при p > 0 это два числа ±√p, при p = 0 — одно число 0, а при p < 0 действительных корней нет. В уравнении ax² = 0 деление на a сразу приводит к x² = 0, откуда x = 0. Таким образом, количество действительных корней зависит не только от вида уравнения, но и от значения полученного числа.

Виды квадратных уравнений и способы их решения

Сначала сравните уравнение со стандартной записью и отметьте, какие коэффициенты равны нулю. Затем выберите способ из соответствующей строки: разложение на множители или переход к x² = p. В последнем случае знак p сразу показывает, сколько действительных корней можно ожидать.

Разбор задач

Задача 1. Укажите коэффициенты уравнения 3x² − 5x + 2 = 0 и определите, является ли оно полным.

1. Сравним запись со стандартным видом ax² + bx + c = 0: член с x² — 3x², член с x — −5x, свободный член — 2.
2. Запишем коэффициенты вместе со знаками: a = 3, b = −5, c = 2. Знаки важны, потому что коэффициентом является всё число перед соответствующим членом.
3. Проверим, равны ли нулю b или c. Здесь b = −5 и c = 2, оба коэффициента ненулевые, значит, уравнение полное.

Ответ: a = 3, b = −5, c = 2; уравнение полное.

Задача 2. Решите уравнение 2x² − 6x = 0.

1. Оба слагаемых содержат x, поэтому вынесем общий множитель: 2x² − 6x = 2x(x − 3). Получаем уравнение 2x(x − 3) = 0.
2. Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один множитель. Поэтому рассматриваем 2x = 0 или x − 3 = 0.
3. Из первого уравнения находим x = 0, из второго — x = 3. Делить исходное уравнение на x не следует: так можно было бы потерять первый корень.
4. Проверим оба значения: при x = 0 левая часть равна 0; при x = 3 получаем 2 · 9 − 6 · 3 = 18 − 18 = 0.

Ответ: 0 и 3.

Задача 3. Решите уравнение 3x² − 12 = 0 и проверьте найденные корни подстановкой.

1. Перенесём −12 вправо: 3x² = 12. Разделим обе части на 3 и получим x² = 4.
2. Число 4 положительное, поэтому квадратный корень из него даёт два противоположных решения: x = 2 и x = −2. Оба числа при возведении в квадрат дают 4.
3. Проверим значения в исходном уравнении. Для x = 2 получаем 3 · 2² − 12 = 12 − 12 = 0; для x = −2 результат такой же, поскольку (−2)² = 4.

Ответ: x = −2 и x = 2.

Типичные ошибки

Иногда квадратным считают уравнение с a = 0. Тогда член x² на самом деле исчезает, и степень уравнения становится меньше двух, поэтому его нужно классифицировать заново. Такая ошибка возникает, если смотреть только на запись до упрощения. Проверьте: после приведения к стандартному виду коэффициент при x² должен быть ненулевым.

В уравнении x² − 4x + 1 = 0 можно ошибочно записать b = 4, забыв знак. Коэффициентом является число вместе со знаком, поэтому здесь b = −4. Чтобы проверить себя, мысленно сопоставьте член bx с записью −4x: именно множитель −4 стоит при x.

При решении ax² + bx = 0 иногда делят обе части на x и получают только один ответ. Но x может быть равен нулю, а деление на него в таком случае недопустимо; так теряется корень. Ошибку предотвращает разложение на множители: x(ax + b) = 0, после чего проверяют каждый множитель.

Из x² = p можно ошибочно взять только положительный корень или записать два корня при p < 0. Первое неверно, потому что противоположные числа имеют одинаковые квадраты, а второе невозможно среди действительных чисел: квадрат не бывает отрицательным. Проверьте знак p и подставьте найденные значения в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для решения таких уравнений нужны преобразования выражений, свойства равенств, разложение на множители и правило о нулевом произведении. Понятие корня и проверка подстановкой продолжают изучение линейных уравнений: в обоих случаях ответ проверяют в исходной записи. Позже квадратные уравнения будут связаны с дискриминантом и формулой корней, а также с графиком квадратичной функции. Эти темы помогают решать уравнения, для которых простых преобразований уже недостаточно.

Что запомнить

• Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Коэффициенты уравнения учитывают свои знаки.
• Корень уравнения обращает его в верное равенство.
• Если b = 0 или c = 0, уравнение неполное.
• В уравнении ax² + bx = 0 можно вынести x за скобки.
• Уравнение x² = p имеет два действительных корня при p > 0, один при p = 0 и не имеет действительных корней при p < 0.