§ 3. Квадратное уравнение и его корни

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c называют свободным членом. По этим коэффициентам выбирают способ решения и находят корни.

Корень квадратного уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, если после подстановки числа обе части уравнения равны, это число подходит. Поиск таких значений и есть решение уравнения.

Дискриминант — выражение D = b² − 4ac, составленное из коэффициентов квадратного уравнения. Его значение показывает, сколько у уравнения действительных корней. Поэтому вычисление дискриминанта помогает понять, что делать дальше, ещё до нахождения самих корней.

Формула корней — способ вычислить корни через коэффициенты и дискриминант: x = (−b ± √D)/(2a). Знак ± означает, что нужно рассмотреть два выражения: одно со знаком плюс, другое со знаком минус. Формула применима после приведения уравнения к стандартному виду.

Как это устроено

Чтобы решить уравнение по общей формуле, его приводят к виду ax² + bx + c = 0. Для этого раскрывают скобки, переносят слагаемые в одну часть и приводят подобные: так каждый коэффициент занимает своё место, а уравнение становится удобным для сравнения с формулой. Условие a ≠ 0 обязательно: если a равен нулю, член с x² исчезает и уравнение уже не квадратное.

Проверить предполагаемый корень можно подстановкой вместо x. Если после вычислений левая часть равна правой, равенство верно, значит, выбранное значение действительно решает уравнение. Именно поэтому корнями называют решения: каждое такое значение превращает исходное уравнение в истинное утверждение.

Формула корней получается из стандартного уравнения с помощью выделения полного квадрата. Сначала делят обе части на a, а затем переносят свободный член: x² + (b/a)x = −c/a. К обеим частям прибавляют квадрат половины коэффициента при x, то есть (b/(2a))², и левая часть становится квадратом двучлена: (x + b/(2a))².

После преобразования справа получается выражение, связанное с b² − 4ac, а извлечение квадратного корня даёт два варианта: с плюсом и с минусом. Так возникает формула x = (−b ± √D)/(2a). Знак дискриминанта определяет, можно ли извлечь из него квадратный корень в действительных числах: положительное число даёт два разных значения, ноль — одно совпадающее значение, отрицательное не даёт действительного корня.

Решение удобно выполнять по порядку, чтобы не перепутать коэффициенты и знаки. Сначала приведите уравнение к стандартному виду и запишите a, b и c, включая нулевой коэффициент, если какого-то слагаемого нет. Затем вычислите D и выберите нужный случай: при D > 0 найдите два корня, при D = 0 — один, а при D < 0 уравнение не имеет действительных корней.

Число корней квадратного уравнения по значению дискриминанта

Сначала найдите D, затем выберите в таблице строку с подходящим условием. Если дискриминант положительный, подставьте его в обе части формулы с разными знаками. При нулевом дискриминанте достаточно записать один корень.

Разбор задач

Решим уравнение x² − 16 = 0. Это неполное квадратное уравнение: в нём нет слагаемого с x, поэтому b = 0. Здесь проще не пользоваться общей формулой, а выразить квадрат переменной.

1. Перенесём 16 в правую часть: x² = 16.
2. Извлечём квадратный корень. Поскольку квадраты чисел 4 и −4 равны 16, получаем x = 4 или x = −4.
3. Проверим оба значения в исходном уравнении: 4² − 16 = 0 и (−4)² − 16 = 0.

Оба значения обращают уравнение в верное равенство. При извлечении корня нельзя оставлять только положительный вариант: возведение в квадрат стирает знак числа. Ответ: x = −4; 4.

Решим уравнение 2x² − 7x + 3 = 0 по общему алгоритму. Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому коэффициенты можно прочитать сразу. Нужно вычислить дискриминант и использовать формулу, так как при положительном D получаются два корня.

1. Определим коэффициенты: a = 2, b = −7, c = 3.
2. Вычислим дискриминант: D = (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25.
3. Подставим значения в формулу: x₁ = (7 + √25)/4 = 3, x₂ = (7 − √25)/4 = 1/2.
4. Проверим: при x = 3 получаем 18 − 21 + 3 = 0, при x = 1/2 получаем 1/2 − 7/2 + 3 = 0.

Дискриминант положителен, поэтому у уравнения два разных действительных корня. Проверка подтверждает, что оба значения подходят. Ответ: x = 3; 1/2.

Решим уравнение (x − 2)² = 3x + 1. Формула корней пока неприменима: уравнение не приведено к виду ax² + bx + c = 0. Сначала раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть.

1. Раскроем скобки: x² − 4x + 4 = 3x + 1.
2. Перенесём слагаемые: x² − 7x + 3 = 0. Получаем a = 1, b = −7, c = 3.
3. Вычислим D = (−7)² − 4 · 1 · 3 = 49 − 12 = 37. Так как D > 0, найдём два корня: x₁ = (7 + √37)/2, x₂ = (7 − √37)/2.
4. Проверим преобразования подстановкой в исходное равенство: для каждого полученного значения выполняется x² − 7x + 3 = 0, а это равенство получено раскрытием скобок и переносом слагаемых из исходного.

Проверка показывает, что найденные значения удовлетворяют исходному уравнению: преобразования были равносильными. Корни можно оставить в точном виде с √37. Ответ: x = (7 + √37)/2; (7 − √37)/2.

Типичные ошибки

При определении коэффициентов иногда принимают за b число без знака или забывают, что отсутствующее слагаемое имеет нулевой коэффициент. Это происходит, когда коэффициенты выписывают до приведения уравнения к стандартному виду. Сначала перепишите уравнение как ax² + bx + c = 0, а затем проверьте, что каждый коэффициент стоит при нужной степени x.

Если a = 0, член с x² исчезает, поэтому уравнение нельзя называть квадратным. Ошибка возникает, когда ориентируются только на внешний вид записи и не проверяют коэффициент при старшей степени. Для самопроверки убедитесь, что после приведения уравнения к стандартному виду при x² стоит ненулевое число.

При вычислении D легко ошибиться в знаках: например, забыть, что b нужно возвести в квадрат, или неверно подставить отрицательное значение c в −4ac. Чтобы этого избежать, записывайте подстановку полностью с числами и скобками, а затем выполняйте действия по порядку. После расчёта полезно оценить знак результата и перепроверить умножение 4ac.

При D > 0 иногда записывают только корень со знаком плюс, а при D < 0 пытаются найти действительные значения по формуле. Причина — невнимательное сопоставление результата со случаем в таблице. Перед вычислениями определите знак D, а при положительном значении проверьте, что под знаком корня рассмотрены оба знака ±.

Связь с другими темами

Для решения квадратных уравнений нужны умения раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, разлагать выражения на множители и извлекать квадратный корень. Поэтому перед решением полезно потренироваться в этих преобразованиях. Квадратные уравнения помогают решать текстовые задачи, если после составления модели получается выражение со второй степенью неизвестной.

Тема связана и с графиком квадратной функции: корни уравнения соответствуют координатам x точек пересечения графика с осью x. Позже можно находить корни и другими способами, например с помощью теоремы Виета, которая связывает их сумму и произведение с коэффициентами уравнения. Эти темы дополняют формулу корней, но не отменяют необходимости правильно приводить уравнение к стандартному виду.

Что запомнить

• Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Корень уравнения — значение переменной, при котором равенство становится верным.
• Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac.
• При D > 0 уравнение имеет два действительных корня.
• При D = 0 уравнение имеет один действительный корень.
• При D < 0 действительных корней нет.
• После решения нужно подставить корни в исходное уравнение для проверки.