"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен исходному. В алгебре чаще всего используют арифметический квадратный корень: он обозначается знаком √ и всегда неотрицателен. Корень существует в действительных числах, только если подкоренное выражение неотрицательно. Свойства корней помогают вычислять произведения и частные, упрощать выражения и решать уравнения, но применять их можно лишь при соблюдении нужных условий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a. Например, квадратными корнями из 9 являются 3 и −3, потому что 3² = 9 и (−3)² = 9. В действительных числах квадратный корень существует только при a ≥ 0: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это условие помогает сразу определить, имеет ли смысл выражение с корнем.
Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательный квадратный корень из a. Его обозначают √a; равенство √a = b означает, что b ≥ 0 и b² = a. Например, √9 = 3, а не −3. Такое обозначение позволяет выбрать одно определённое значение, когда у положительного числа есть два квадратных корня.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня. Например, в √(x − 2) подкоренное выражение — x − 2, и для действительных значений корня оно должно быть неотрицательным. Поэтому здесь требуется x − 2 ≥ 0. Проверка подкоренного выражения показывает, при каких значениях переменной выражение вообще определено.
Знак квадратного корня √ — обозначение арифметического квадратного корня. Он указывает только на неотрицательное значение, потому что иначе одной записи соответствовали бы сразу два числа. Так, уравнение x² = 9 имеет решения 3 и −3, но √9 равно только 3. Чтобы записать оба корня уравнения, используют ±√9.
Если a > 0, то у него есть два квадратных корня: некоторое положительное число и противоположное ему отрицательное. Причина в том, что числа x и −x имеют одинаковый квадрат: (−x)² = x². Арифметическим называют положительный из этих корней, и именно его обозначает знак √. Например, 4 и −4 — квадратные корни из 16, а √16 = 4.
Ноль — особый случай: только число 0 при возведении в квадрат даёт 0, поэтому у него один квадратный корень. Отрицательное число не может быть квадратом действительного числа, ведь произведение двух одинаковых чисел неотрицательно: положительное число в квадрате положительно, а отрицательное тоже даёт положительный результат. Значит, √(−a) не имеет действительного значения при a > 0. Это объясняет, почему перед вычислениями проверяют знак подкоренного выражения.
Возведение в квадрат и извлечение арифметического корня взаимно обратны, если исходное число неотрицательно: при b ≥ 0 получаем √(b²) = b. Но если число может быть отрицательным, ответом служит его модуль: √(b²) = |b|. Например, √((−5)²) = √25 = 5, а не −5. Модуль нужен именно потому, что арифметический корень по определению неотрицателен.
При a ≥ 0 и b ≥ 0 произведение √a · √b неотрицательно, а его квадрат равен (√a · √b)² = ab. Следовательно, это арифметический квадратный корень из ab, то есть √(ab) = √a · √b. Для частного рассуждение похожее: если a ≥ 0, b > 0, то √a/√b неотрицательно, а квадрат дроби равен a/b. Значит, √(a/b) = √a/√b; условие b > 0 исключает деление на ноль.
| Свойство | Условия | Запись |
|---|---|---|
| Квадрат арифметического корня | a ≥ 0 | (√a)² = a |
| Корень из квадрата числа | x — любое действительное число | √(x²) = |x| |
| Корень из произведения | a ≥ 0, b ≥ 0 | √(ab) = √a · √b |
| Корень из частного | a ≥ 0, b > 0 | √(a/b) = √a/√b |
Перед применением свойства проверьте его условия: подкоренные выражения должны допускать извлечение корня, а знаменатель дроби не должен быть нулём. Таблица помогает выбрать формулу и не перепутать направление преобразования. Для выражения с квадратом переменной отдельно учитывайте её знак: результатом будет модуль.
Сначала найдём число, квадрат которого равен 169: 13² = 169. Знак √ обозначает арифметический корень, поэтому в первом вопросе нужен только неотрицательный ответ. Чтобы указать все квадратные корни, учитываем также противоположное число: его квадрат такой же.
Ответ: √169 = 13; квадратные корни числа 169 — 13 и −13. Разница между ответами связана с тем, что знак корня задаёт одно неотрицательное значение, а вопрос о квадратных корнях требует перечислить оба числа.
Оба подкоренных числа неотрицательны, поэтому можно применить свойство корня из произведения. Объединим множители под одним знаком корня, а затем вычислим произведение 12 · 3. Получившееся число удобно представить как квадрат целого числа.
Ответ: 6. Проверка простая: оба исходных корня неотрицательны, значит их произведение тоже неотрицательно, и найденное положительное значение подходит.
Здесь под корнем стоит квадрат выражения, поэтому применяем правило √(u²) = |u|, где u = x − 4. Условие x < 4 показывает, что x − 4 отрицательно. Модуль отрицательного числа меняет его знак, поэтому результат можно записать без модуля.
Ответ: 4 − x. Например, если x = 2, исходное выражение равно √4 = 2, и выражение 4 − x тоже равно 2. Такая проверка подтверждает, что знак выбран верно.
Ошибка: считать, что √a имеет два значения. Её допускают, смешивая арифметический корень с решением уравнения x² = a: уравнение действительно может иметь два решения, а знак √ обозначает только неотрицательное. Проверяйте запись: √25 = 5, тогда как все корни уравнения x² = 25 — 5 и −5. Для двух значений в формуле обычно пишут ±√a.
Ошибка: записывать √(x²) = x без проверки знака x. Так поступают, потому что квадрат и корень кажутся обратными действиями, но арифметический корень неотрицателен. Верное равенство для любого действительного x — √(x²) = |x|. Проверьте себя на отрицательном числе: при x = −3 левая часть равна 3, а не −3.
Ошибка: применять свойства произведения или частного, не проверив подкоренные выражения. Формулы требуют, чтобы подкоренные числа были неотрицательными, а при делении знаменатель должен быть положительным. Иначе выражения могут не иметь действительного значения либо деление окажется невозможным. Перед преобразованием запишите условия, например a ≥ 0, b > 0 для √(a/b).
Ошибка: считать, что √(a + b) = √a + √b. Правила для произведения и частного не распространяются на сумму; такая ошибка возникает из-за попытки распределить корень как скобки. Проверка на a = b = 1 опровергает формулу: √2 не равно 2. Поэтому сумму под корнем сначала упрощают другими способами, а не разбивают на два корня.
Для работы с корнями нужно знать квадраты целых чисел и помнить, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это помогает находить корни и проверять допустимость выражений. Арифметический квадратный корень используется при решении уравнений вида x² = a: при a > 0 решения равны √a и −√a. Далее свойства корней пригодятся при преобразовании алгебраических выражений и работе с иррациональными числами — числами, которые нельзя представить обыкновенной дробью.
Почему у числа 25 два квадратных корня, а √25 равно только 5?
И 5, и −5 при возведении в квадрат дают 25, поэтому у числа 25 два квадратных корня. Знак √ обозначает только арифметический, то есть неотрицательный, корень: √25 = 5.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В множестве действительных чисел — нет: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому выражение √a определено только при a ≥ 0.
Почему √(x²) не всегда равно x?
Арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому √(x²) равен не самому x, а его модулю: |x|. Если x < 0, то |x| = −x.
Можно ли разложить корень из суммы на сумму корней?
Нет, равенство √(a + b) = √a + √b в общем случае неверно. Например, √(1 + 1) = √2, а √1 + √1 = 2.
При каких условиях можно перемножать или делить квадратные корни?
Корни можно перемножать по правилу √(ab) = √a · √b, если a ≥ 0 и b ≥ 0. Для деления нужно, чтобы a ≥ 0 и b > 0: знаменатель не должен быть равен нулю.
§ 2. Квадратный корень и его свойства
