§ 1. Свойства и график функции у = х2

Определения и обозначения

Функция y = x² — правило, которое каждому действительному значению x ставит в соответствие квадрат этого числа. Например, при x = −3 получаем y = 9, потому что (−3)² = 9. Значение x называют аргументом, а соответствующее ему y — значением функции. Эта запись позволяет находить результат для любого выбранного x.

Парабола — график функции y = x². Это плавная U-образная кривая: её нижняя точка находится в начале координат, а обе ветви поднимаются вверх. Слева и справа от оси y форма графика одинаковая. Понимание формы помогает проверять построение и читать значения функции по графику.

Вершина параболы — точка (0; 0), где график y = x² достигает наименьшего значения. Здесь x равен нулю, поэтому и y = 0² = 0. Вершина служит ориентиром при построении параболы и помогает сразу увидеть минимум функции. Других точек графика с таким же или меньшим значением y нет.

Ось симметрии параболы — прямая x = 0, совпадающая с осью y. Если отразить график относительно этой прямой, его левая и правая части совпадут. Это свойство объясняет, почему для аргументов x и −x получаются одинаковые значения функции. При построении достаточно найти точки с одной стороны оси и расположить такие же на другой.

Как это устроено

Чтобы построить график, сначала выбирают несколько значений x и для каждого вычисляют квадрат. Например, при x = −2, −1, 0, 1, 2 получаются значения y = 4, 1, 0, 1, 4. Затем пары чисел (x; y) отмечают на координатной плоскости. Чем больше подходящих точек нанесено, тем лучше видна форма кривой, но точки нужно соединить плавно, а не отрезками.

Значения функции при противоположных аргументах равны, поскольку (−x)² = x². Например, аргументы −2 и 2 дают одно значение 4. Значит, точки (−2; 4) и (2; 4) находятся на одинаковой высоте и на равном расстоянии от оси y. Так появляется симметрия графика относительно этой оси, а функция называется чётной.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен: число может быть положительным или отрицательным, но его квадрат не меньше нуля. Поэтому на графике нет точек ниже оси x. Ноль получается только при x = 0, так как квадрат равен нулю лишь у самого нуля. Следовательно, значение 0 — наименьшее, а все значения функции образуют промежуток [0; +∞).

На отрицательных значениях x функция убывает: например, при движении от −3 к −2 и затем к −1 значения меняются с 9 на 4 и на 1. Аргумент приближается к нулю, поэтому его квадрат становится меньше. После нуля функция возрастает: при переходе от 1 к 2 и к 3 значения увеличиваются с 1 до 4 и до 9. Получается, что вершина разделяет график на убывающую и возрастающую части.

Точки из таблицы значений помогают увидеть, как должна проходить парабола: сначала она опускается к началу координат, а после него поднимается. Плавная кривая проходит через вершину (0; 0) и одинаковые по высоте точки с противоположными абсциссами. Она не пересекает ось x в других местах, потому что x² = 0 только при x = 0. За пределами выбранных точек ветви продолжаются вверх.

Основные свойства функции y = x²

Таблицу удобно использовать как краткую проверку решения: например, по ней можно убедиться, что функция не принимает отрицательных значений. При построении графика свойства подсказывают, где разместить вершину и какую часть кривой отразить симметрично. Обозначения с бесконечностью показывают, что промежутки продолжаются без конца в указанную сторону.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = x², составив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2. Сначала нужно получить пары координат, а затем перенести их на плоскость. При вычислении важно возводить в квадрат всё отрицательное число, включая знак: например, (−2)² = 4. Симметрия графика поможет проверить, что значения для −1 и 1, а также для −2 и 2 совпадают.

1. Вычислим значения функции: (−2)² = 4, (−1)² = 1, 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4. Запишем пары: (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4). В каждой паре на первом месте стоит x, а на втором — y.

2. Отметим все пять точек на координатной плоскости. Точки для противоположных x должны находиться на одинаковой высоте, а точка (0; 0) — в начале координат. Это сразу позволяет заметить возможную ошибку в таблице.

3. Проведём через отмеченные точки плавную кривую, которая опускается к (0; 0) слева и поднимается справа. Ломаная из прямых отрезков не будет графиком функции на всём промежутке, потому что значения y меняются непрерывно. Полученная кривая симметрична относительно оси y.

Ответ: график — парабола через точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4), симметричная относительно оси y.

Задача 2. Определить, какие значения может принимать y = x², и найти наименьшее значение функции. Для ответа не нужно перебирать отдельные числа: подойдёт свойство квадрата любого числа. Нужно также проверить, достигается ли нижняя возможная граница, а не только к ней приближается график.

1. Для любого действительного x выражение x² неотрицательно, поэтому y не может быть меньше нуля. Это исключает отрицательные значения из области значений функции.

2. При x = 0 получаем y = 0² = 0. Значит, ноль действительно достигается, а не просто является нижней границей.

3. Для любого числа y > 0 можно взять x = √y или x = −√y: в обоих случаях квадрат равен y. Поэтому функция принимает и все положительные значения.

Ответ: область значений — [0; +∞), наименьшее значение равно 0 и достигается при x = 0.

Задача 3. Найти все значения x, при которых y = x² равно 9, и указать соответствующие точки графика. Нужно решить уравнение x² = 9 и не ограничиваться положительным корнем. Это связано с тем, что два противоположных числа имеют одинаковый квадрат.

1. Ищем числа, квадрат которых равен 9. Так как 3² = 9, число 3 подходит; так как (−3)² = 9, подходит и число −3.

2. Записываем оба решения: x = −3 и x = 3. Проверка подстановкой показывает, что оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

3. Для каждого найденного x значение y равно 9. Поэтому на графике соответствуют точки (−3; 9) и (3; 9), расположенные симметрично по разные стороны от оси y.

Ответ: x = −3 и x = 3; точки графика — (−3; 9) и (3; 9).

Типичные ошибки

Ошибка 1: область значений записывают как все действительные числа. Так бывает, если область определения путают с набором значений y. Но отрицательного результата при возведении действительного числа в квадрат получить нельзя. Проверьте ответ по формуле: y = x² ≥ 0, значит область значений — [0; +∞).

Ошибка 2: считают функцию возрастающей на всей числовой прямой. Такое впечатление может возникнуть, если смотреть только на правую ветвь параболы. Слева от нуля при движении к вершине значения уменьшаются, например 9, 4, 1, 0. Проверяйте изменения отдельно до нуля и после него: функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).

Ошибка 3: при решении x² = a, где a > 0, оставляют только x = √a. Положительный корень легко заметить, а отрицательный можно забыть, хотя его квадрат тоже равен a. Например, в уравнении x² = 9 подходят и 3, и −3. Для проверки подставьте в исходное уравнение оба числа; в общем случае запишите x = ±√a.

Ошибка 4: строят график несимметричным относительно оси y. Причиной часто становятся неверный квадрат отрицательного числа или ошибка при переносе точки из таблицы. Например, если для x = −2 записать y = −4, забывают, что (−2)² = 4. Сверьте значения для x и −x: они должны совпадать, а соответствующие точки — быть на одинаковой высоте.

Связь с другими темами

Чтобы изучать функцию y = x², нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости, понимать, что такое функция, и читать её задание формулой или таблицей. Также понадобятся навыки возведения положительных и отрицательных чисел в квадрат и решения простых уравнений вида x² = a. Если эти действия вызывают затруднения, сначала потренируйтесь на отдельных числах и координатных парах. Позже свойства параболы помогут изучать квадратичную функцию, квадратные уравнения и преобразования графиков.

Что запомнить

• Область определения функции y = x² — все действительные числа.
• Значения функции неотрицательны; область значений — [0; +∞).
• Функция чётная: f(−x) = f(x).
• График функции — парабола с вершиной в точке (0; 0).
• Ось симметрии параболы — ось y.
• Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0.
• Наименьшее значение функции равно 0 и достигается при x = 0.