§ 4. Прямоугольная система координат и параллельный перенос в пространстве

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными положительными направлениями. Оси обычно обозначают OX, OY и OZ, а их общее начало — O. Такая система нужна, чтобы точно описывать положение точек в пространстве.

Координаты точки — три числа, которые задают её положение относительно координатных осей. Точку обозначают, например, M(x; y; z), где числа записаны в установленном порядке: сначала координата по оси OX, затем по OY, затем по OZ. По этой записи можно определить, насколько далеко точка расположена от координатных плоскостей.

Координатные плоскости проходят через пары координатных осей: OXY, OXZ и OYZ. На плоскости OXY координата z равна нулю, на OXZ равна нулю y, а на OYZ — x. Это позволяет определить плоскость точки, не изображая её на чертеже.

Параллельный перенос — преобразование пространства, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор. Этот общий вектор называют вектором переноса. Он показывает и направление, и величину сдвига, поэтому позволяет описать преобразование одним набором координат.

Как это устроено

Три оси позволяют задавать положение точки, потому что в пространстве есть три независимых направления. Сначала можно определить, насколько нужно пройти вдоль OX, затем вдоль OY и, наконец, вдоль OZ; все три шага вместе приводят к нужной точке. Оси взаимно перпендикулярны, поэтому движение по одной из них не меняет расстояние, отсчитанное вдоль другой. В результате каждой точке соответствует тройка чисел.

Координаты связаны с проекциями точки: проекция показывает, где точка окажется на оси или плоскости, если опустить на неё перпендикуляр. Координаты указывают, насколько далеко точка расположена от координатных плоскостей, а их знаки помогают понять, в каком направлении от начала координат она находится. Порядок важен, потому что первая, вторая и третья координаты относятся к разным осям. Например, запись (2; 5; 1) задаёт другое положение, чем (5; 2; 1).

Чтобы узнать, лежит ли точка на координатной плоскости, достаточно проверить её координаты. Все точки плоскости OXY имеют z = 0, поскольку она целиком расположена на пересечении направлений OX и OY и не отходит от них вдоль OZ. Аналогично для OXZ выполняется y = 0, а для OYZ — x = 0. Поэтому нулевая координата служит признаком плоскости, а не сама по себе признаком оси.

Параллельный перенос задаётся вектором, потому что он сообщает один и тот же сдвиг каждой точке пространства. Если точки перемещаются одинаково, расстояние между любой парой из них не меняется: общий сдвиг не приближает точки друг к другу и не удаляет их. Поэтому сохраняются длины отрезков, углы, форма фигур и их взаимное расположение. Фигура после переноса может оказаться в другом месте, но её размеры и устройство остаются прежними.

Координаты образа находят отдельно по каждому направлению. Если M(x; y; z) переносится на вектор (a; b; c), то к x прибавляют a, к y прибавляют b, к z прибавляют c; получается M′(x + a; y + b; z + c). Это правило следует из того, что вектор задаёт три составляющих одного сдвига вдоль соответствующих осей. Отрицательная координата вектора уже задаёт движение в отрицательном направлении, поэтому её тоже прибавляют.

Координаты точки и её образа при параллельном переносе

В таблице сопоставлены координаты исходной точки и соответствующие им координаты вектора. Для каждой оси выполняется отдельное сложение: x с a, y с b, z с c. Если координаты образа уже известны, вектор переноса можно найти обратным действием — вычитанием координат исходной точки.

Разбор задач

Задача 1. Определите, на какой координатной плоскости лежит точка A(3; 0; −2). Нужно найти нулевую координату и сопоставить её с плоскостью, перпендикулярное направление которой не имеет смещения от нуля. Сравним координаты точки с условиями для трёх координатных плоскостей. Так можно обойтись без чертежа.

1. Запишем координаты по порядку: x = 3, y = 0, z = −2.
2. Вторая координата равна нулю, а условие y = 0 задаёт плоскость OXZ.
3. Следовательно, точка A лежит на плоскости OXZ.

Ответ: плоскость OXZ.

Задача 2. Точка M(−1; 2; 4) перенесена на вектор (3; −5; 1). Найдите координаты её образа. Каждая координата вектора отвечает за сдвиг вдоль своей оси, поэтому прибавляем числа по порядку. Отрицательное число −5 не меняет правила: его прибавление означает сдвиг в отрицательном направлении оси OY.

1. К первой координате точки прибавим первую координату вектора: −1 + 3 = 2.
2. Ко второй прибавим вторую: 2 + (−5) = −3.
3. К третьей прибавим третью: 4 + 1 = 5.
4. Запишем полученные координаты в прежнем порядке: M′(2; −3; 5).

Ответ: M′(2; −3; 5).

Задача 3. При переносе точка A(2; −1; 3) переходит в A′(−2; 4; 1). Найдите вектор переноса и образ точки B(0; 3; −2). Сначала восстановим сдвиг: сравним каждую координату образа с соответствующей координатой исходной точки A. Затем применим найденный вектор к B, поскольку при одном переносе сдвиг для всех точек одинаков.

1. Вычтем координаты A из координат A′: (−2 − 2; 4 − (−1); 1 − 3) = (−4; 5; −2).
2. Значит, вектор переноса равен (−4; 5; −2).
3. Прибавим его координаты к координатам B: (0 + (−4); 3 + 5; −2 + (−2)).
4. Получим B′(−4; 8; −4).

Ответ: вектор переноса (−4; 5; −2), образ точки B — B′(−4; 8; −4).

Типичные ошибки

Координаты иногда переставляют местами, потому что тройка чисел выглядит как набор, в котором порядок будто бы неважен. Но первая координата относится к OX, вторая — к OY, третья — к OZ, поэтому перестановка задаёт другую точку. Проверяйте запись по установленному порядку осей и не меняйте его при вычислениях.

Нулевую координату могут принять за признак принадлежности оси. На самом деле одно равенство нулю задаёт координатную плоскость; для оси нужны две нулевые координаты, поскольку она является пересечением двух координатных плоскостей. Проверьте, сколько координат равно нулю, и сопоставьте результат с положением точки.

При переносе иногда вычитают координаты вектора, хотя формула требует сложения. Ошибка возникает, если знак минус воспринимают как команду вычитать, а не как часть числа и направление движения. Подставляйте координаты в формулу M′(x + a; y + b; z + c): например, 2 + (−5) = −3.

Ещё одна ошибка — подбирать для разных точек разные векторы, чтобы получить желаемое положение образа. Так поступать нельзя: вектор задаёт один общий сдвиг всего пространства. Проверка проста: координаты образа минус координаты исходной точки должны давать один и тот же вектор для каждой пары соответствующих точек.

Связь с другими темами

Для работы с пространственными координатами полезны знания о координатной прямой и координатной плоскости: они помогают понимать порядок чисел, направление и положение точки. Также нужно уметь складывать числа с учётом знаков, поскольку координаты вектора могут быть отрицательными. Эти навыки позволяют не путать направление сдвига и правильно вычислять координаты образа.

Тема продолжает изучение координат и векторов: координаты описывают положение точки, а вектор — направленное перемещение. Параллельный перенос показывает, как с помощью вектора описывать геометрическое преобразование в пространстве. Этот подход пригодится при решении задач о перемещении точек и фигур, когда важно учитывать сохранение расстояний и формы.

Что запомнить

• Положение точки в пространстве задаётся тремя координатами.
• Координаты записывают в установленном порядке.
• Точка лежит на координатной плоскости, если соответствующая ей координата равна нулю.
• Параллельный перенос задаётся одним вектором.
• При переносе к каждой координате точки прибавляют соответствующую координату вектора.
• Параллельный перенос сохраняет расстояния и форму фигур.