§ 3. Параллельный перенос на координатной плоскости

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором каждая точка перемещается на один и тот же вектор. Если точка M переходит в M′, то отрезки от исходных точек к их образам равны и направлены одинаково. Это определение позволяет отличить перенос от поворота: для переноса направление и величина сдвига у всех точек общие.

Вектор переноса — вектор, задающий общее направление и величину перемещения всех точек. Его обозначают, например, буквой v или задают координатами (a; b), где a показывает сдвиг по горизонтали, а b — по вертикали. Благодаря вектору один и тот же перенос можно описать для любой точки плоскости.

Координаты образа точки — координаты точки после переноса. Если исходная точка M имеет координаты (x; y), а вектор переноса — (a; b), то её образ M′ имеет координаты (x + a; y + b). Эта запись нужна, чтобы находить образ вычислением, не выстраивая каждый раз чертёж.

Как это устроено

Пусть вектор переноса имеет координаты (a; b). Первая координата описывает, насколько нужно сдвинуться вправо или влево: положительное a ведёт вправо, отрицательное — влево. Вторая задаёт движение вверх или вниз: положительное b ведёт вверх, отрицательное — вниз, потому что координатная плоскость устроена по двум направлениям.

Для точки M(x; y) образ записывают как M′(x + a; y + b). Это следует из смысла координат: горизонтальный сдвиг меняет абсциссу на a, а вертикальный — ординату на b. Например, если точка имеет абсциссу 2, а перенос добавляет 5, то новая абсцисса равна 7; координата y меняется отдельно по тому же правилу.

Чтобы перенести фигуру, сначала выпиши координаты её характерных точек — обычно вершин. Найди образ каждой точки по одному и тому же координатному правилу, а затем соедини образы в прежнем порядке. Один сдвиг для всех точек необходим, иначе части фигуры переместятся по-разному и исходная форма не получится.

При переносе сохраняются форма и размеры фигуры, потому что любой отрезок сдвигается целиком на один и тот же вектор. Его концы получают одинаковые приращения координат, поэтому расстояние между ними не меняется; по той же причине сохраняются углы. Значит, образ фигуры равен исходной фигуре, хотя может находиться в другом месте плоскости.

Если известны точка M(x; y) и её образ M′(x′; y′), вектор находят вычитанием: (x′ − x; y′ − y). Сначала вычисляют, насколько изменилась абсцисса, затем — насколько изменилась ордината. Чтобы убедиться, что найден именно общий вектор переноса, проверь его на другой паре соответствующих точек: разности должны совпасть.

Координатное описание параллельного переноса

В таблице собраны обозначения и правила для точки M(x; y), которую переносят на вектор (a; b). Числа a и b прибавляются к соответствующим координатам, а не заменяют их. Используй последние строки, когда сдвиг происходит только вдоль одной из координатных осей.

Разбор задач

Задача 1. Точка A(−2; 3) перенесена на вектор с координатами (4; −1). Найдите координаты её образа. Вектор показывает, что абсцисса увеличивается на 4, а ордината уменьшается на 1. Поэтому каждую координату исходной точки нужно изменить согласно своей координате вектора.

1. Запишем исходную точку A(−2; 3) и вектор (4; −1).
2. К первой координате прибавим 4: −2 + 4 = 2.
3. Ко второй координате прибавим −1: 3 + (−1) = 2.

Ответ: A′(2; 2). Проверка по смыслу: точка сдвинулась вправо на 4 единицы и вниз на 1 единицу.

Задача 2. Точка B(1; −4) перешла в точку B′(−2; 2). Найдите координаты вектора переноса и образ точки C(3; 0). Сначала требуется восстановить общий сдвиг по известной паре точек. Затем найденный вектор применяют к C, не меняя его для новой точки.

1. Вычтем координаты B из соответствующих координат B′: −2 − 1 = −3, 2 − (−4) = 6.
2. Значит, вектор переноса равен (−3; 6).
3. Прибавим его координаты к координатам C: C′(3 + (−3); 0 + 6) = C′(0; 6).

Ответ: вектор переноса (−3; 6), образ точки C — C′(0; 6). Проверка: у B абсцисса уменьшилась на 3, а ордината увеличилась на 6, как и у найденного вектора.

Задача 3. Треугольник задан вершинами A(−1; 1), B(2; 1), C(0; 4). Постройте его образ при переносе, который переводит A в A′(3; −2), и найдите B′ и C′. Поскольку перенос один для всех точек, сначала определим его вектор по известной паре A и A′. После этого применим тот же сдвиг к двум оставшимся вершинам.

1. Находим вектор: (3 − (−1); −2 − 1) = (4; −3).
2. Для B прибавляем координаты вектора: B′(2 + 4; 1 − 3) = B′(6; −2).
3. Для C получаем C′(0 + 4; 4 − 3) = C′(4; 1).

Ответ: B′(6; −2), C′(4; 1). Для построения отметь A′, B′ и C′ на координатной плоскости и соедини их в том же порядке, что и вершины исходного треугольника.

Типичные ошибки

Первая ошибка — прибавить обе координаты вектора только к одной координате точки или поменять их местами. Такое случается, если не следить за тем, что абсцисса отвечает за горизонталь, а ордината — за вертикаль. Проверка: запиши две отдельные строки x′ = x + a и y′ = y + b.

При поиске вектора иногда вычитают координаты образа из координат исходной точки. Так теряется направление от исходной точки к её образу, поэтому правильный порядок — образ минус исходная точка. Проверить вычисление можно, прибавив найденный вектор к исходным координатам: должны получиться координаты образа.

Ещё одна ошибка — перенести только одну вершину и считать, что фигура уже перемещена. Одной точки недостаточно, чтобы получить образ всей фигуры: общий вектор нужно применить ко всем её точкам. Самопроверка проста: сверь, что для каждой вершины использовались одинаковые a и b.

При построении можно соединить образы вершин в произвольном порядке. Обычно так делают, забывая, какая вершина какой соответствует; в результате стороны могут пересечься, а контур изменится. Сохраняй порядок исходных вершин, например A, B, C переходят в A′, B′, C′, и проверяй соответствие сторон.

Связь с другими темами

Для работы с переносом нужно уметь читать координаты точек и векторов на плоскости, а также выполнять сложение и вычитание чисел. Векторы и координатный метод дают удобный способ задавать перемещение и находить образы точек вычислением. Позже параллельный перенос пригодится при изучении движений плоскости и решении задач на свойства и равенство геометрических фигур.

Что запомнить

• При параллельном переносе все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• Если вектор переноса имеет координаты (a; b), то M(x; y) переходит в M′(x + a; y + b).
• Координаты вектора переноса из M в M′ равны (x′ − x; y′ − y).
• Для переноса фигуры нужно перенести каждую её точку одним и тем же вектором.
• Параллельный перенос сохраняет длины отрезков и величины углов.
• Образ прямой при параллельном переносе — параллельная ей прямая или та же прямая.