"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Параллельный перенос вдоль оси ординат — это вертикальный сдвиг: каждая точка фигуры перемещается на одинаковое расстояние вверх или вниз, а её абсцисса остаётся прежней. Для графика функции такой перенос записывают формулой y = f(x) + b. Знак числа b показывает направление, а его модуль — расстояние сдвига. Это правило помогает быстро строить новые графики и находить их формулы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются на один и тот же вектор. Вектор показывает направление движения и его длину. Поэтому после переноса фигура не поворачивается и не растягивается: все её точки сдвигаются одинаково.
Параллельный перенос вдоль оси ординат — перенос каждой точки вертикально на расстояние |b| без изменения её абсциссы. Абсцисса — первая координата точки, она показывает положение по горизонтали. Это определение помогает отличить вертикальное перемещение от горизонтального.
Вектор переноса — вектор (0; b), задающий направление и величину вертикального перемещения. Его первая координата равна нулю, потому что движение по горизонтали отсутствует. Вторая координата b показывает, на сколько единиц меняется ордината.
График функции y = f(x) + b — график функции y = f(x), сдвинутый вдоль оси ординат на b единиц. Здесь f(x) обозначает исходную функцию, а b — число, одинаковое для всех её значений. Такая запись позволяет задавать новый график, не строя его заново с нуля.
При переносе вдоль оси ординат абсцисса не меняется, потому что каждая точка движется параллельно вертикальной оси. У точки нет перемещения влево или вправо, значит, её координата x остаётся прежней. Ордината увеличивается на b: новое значение равно прежнему y плюс число b. Поэтому вектор перемещения записывается как (0; b).
Чтобы получить образ точки (x; y), оставь первую координату без изменений и прибавь b ко второй: получится (x; y + b). Например, при b = 3 точка (2; 5) переходит в (2; 8), а при b = −4 — в (2; 1). Такой способ подходит для каждой точки, поэтому по нескольким опорным точкам можно построить весь сдвинутый график.
В графике y = f(x) + b прибавление b происходит после вычисления значения f(x). При каждом прежнем x график получает ординату, отличающуюся на одно и то же число, поэтому точки перемещаются по вертикали на одинаковое расстояние. Горизонтальные координаты и форма кривой сохраняются: меняется только её положение относительно осей. Например, парабола остаётся параболой, хотя её вершина и остальные точки оказываются выше или ниже.
Знак b определяет направление сдвига, потому что он показывает, увеличивается или уменьшается ордината. При b > 0 к каждому значению функции прибавляется положительное число, поэтому график поднимается вверх. При b < 0 прибавление отрицательного числа уменьшает значения y, и график опускается вниз. Расстояние переноса в обоих случаях равно |b|.
Величину переноса можно определить по формуле или по соответствующим точкам графиков. В формуле y = f(x) + b число b уже задаёт сдвиг; на графике сравнивают ординаты точек с одинаковыми x и находят их разность. Чтобы восстановить исходную функцию, нужно отменить сдвиг: если известен график f(x) + b, из его ординат вычитают b. Например, после сдвига вверх на 4 исходную ординату получают, вычитая 4.
В таблице сравниваются точки исходного и перенесённого графиков. Смотри на знаки координат и на то, какая из них меняется: это помогает быстро проверить направление сдвига. Для строки о связи с исходной функцией используй формулу y = f(x) + b.
| Свойство | Исходный график y = f(x) | После переноса y = f(x) + b |
|---|---|---|
| Координаты соответствующих точек | (x; y) | (x; y + b) |
| Направление переноса при b > 0 | — | Вверх на b единиц |
| Направление переноса при b < 0 | — | Вниз на |b| единиц |
| Изменение абсцисс | x | Не изменяются |
| Изменение ординат | y | Каждая увеличивается на b |
| Изменение формы и размеров графика | Исходные | Не изменяются |
| Связь с исходной функцией | y = f(x) | К значениям f(x) прибавлено b |
Сравним формулу с правилом y = f(x) + b: здесь f(x) = x², а b = 3. Положительное число означает сдвиг вверх, и расстояние равно трём единицам. Чтобы построить график, достаточно перенести вверх несколько точек параболы, сохранив их абсциссы.
Ответ: график y = x² + 3 — парабола y = x², сдвинутая вверх на 3 единицы.
Сдвиг вниз уменьшает каждую ординату на 4, поэтому в записи формулы используется b = −4. Абсцисса точки остаётся равной 2, а к её ординате прибавляется −4. Проверим результат: точка должна оказаться ниже исходной на четыре единицы.
Ответ: y = f(x) − 4; образ точки (2; 5) — точка (2; 1).
У обеих точек одинаковая абсцисса −1, значит, они соответствуют одному и тому же x на двух графиках. Их ординаты отличаются на 6 − 2 = 4. Поскольку новая ордината больше, график сдвинут вверх.
Ответ: b = 4; график y = f(x) + 4 получен переносом исходного графика вверх на 4 единицы.
Ошибка: при вертикальном переносе меняют абсциссу точки. Так происходит, если перенос путают с движением вправо или влево. Проверь себя: в паре координат (x; y) первое число должно остаться прежним.
Ошибка: считают, что при b > 0 график идёт вниз, а при b < 0 — вверх. Обычно направление путают, ориентируясь на знак сдвига без связи с изменением ординаты. Подставь простое значение: прибавление положительного числа поднимает точку, отрицательного — опускает.
Ошибка: вертикальный перенос записывают как y = f(x + b). Причина в том, что b добавляют к x вместо значения функции. Для проверки сравни записи: прибавление снаружи, f(x) + b, меняет y; изменение аргумента внутри, f(x + b), относится к горизонтальному сдвигу.
Ошибка: полагают, что перенос меняет форму, размеры, область определения или расстояния между точками графика. Это может показаться правдоподобным, если сравнивать положения графиков, а не их точки. Возьми любые две соответствующие точки: у них одинаковы абсциссы, а все ординаты изменены на одно и то же число; значит, форма сохраняется, а допустимые x не меняются.
Для работы с вертикальным переносом нужно уметь строить график функции по точкам, читать координаты и понимать запись y = f(x). По этим навыкам можно сопоставить исходные и новые точки, не перепутать абсциссу с ординатой и увидеть роль числа b. Далее правило пригодится при изучении преобразований графиков и функций с параметрами. Оно также помогает строить графики более сложных функций, используя уже известные графики.
Почему при переносе вдоль оси ординат изменяется только число после точки с запятой?
Ось ординат направлена вертикально, поэтому перенос вдоль неё меняет только вертикальную координату — ординату. Горизонтальное положение точки не меняется, значит, абсцисса остаётся прежней.
Чем отличаются записи f(x) + b и f(x + b)?
В записи f(x) + b число b прибавляют к значению функции, поэтому график сдвигается вертикально. В записи f(x + b) меняют аргумент, и график сдвигается горизонтально.
Как понять по знаку числа b, вверх или вниз переносится график?
Если b > 0, к каждой ординате прибавляют положительное число и график поднимается вверх. Если b < 0, ординаты уменьшаются и график опускается вниз.
Изменяется ли область определения функции при вертикальном переносе?
Нет, область определения не меняется: допустимые значения x остаются теми же. Меняются только значения y, то есть ординаты точек графика.
Как восстановить исходную функцию по графику, полученному переносом?
Нужно определить величину и направление переноса, а затем отменить его. Если полученная функция имеет вид f(x) + b, исходную функцию находят вычитанием b: f(x) = (f(x) + b) − b.
§ 2. Параллельный перенос вдоль оси ординат
