§ 1. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор. Иными словами, каждая точка делает одинаковый по направлению и длине шаг. Это нужно, чтобы описывать сдвиг фигуры или графика без изменения его формы.

Перенос вдоль оси абсцисс — параллельный перенос на вектор (a, 0), при котором ординаты точек не меняются. Число a показывает длину сдвига, а первый координатный компонент задаёт направление. Такое преобразование отвечает за перемещение графика вправо или влево.

Вектор переноса — направленный отрезок, задающий направление и величину сдвига. Например, вектор (3, 0) означает движение на 3 единицы вправо, а вектор (−2, 0) — на 2 единицы влево. С его помощью можно найти координаты любой новой точки.

Горизонтальный сдвиг графика — изменение положения графика вправо или влево без изменения его формы. Расстояния между точками и их ординаты остаются теми же. Это понятие помогает отличить перенос вдоль оси абсцисс от изменения значений функции.

Как это устроено

Если точку (x, y) перенести вправо на a, её абсцисса увеличится на a, потому что движение идёт вдоль положительного направления оси абсцисс. Новая точка получит координаты (x + a, y). Ордината y не меняется, так как вверх или вниз точка не перемещается.

Пусть исходный график задан уравнением y = f(x), а после переноса вправо новая точка имеет координату X = x + a. Тогда прежняя координата выражается как x = X − a. Подставляя её в исходное правило, получаем y = f(X − a), а после переобозначения переменной — y = f(x − a).

Знак в формуле кажется противоположным направлению сдвига из-за того, что функция вычисляет прежнюю ординату по новой абсциссе. Для точки нового графика с координатой x нужно вернуться на a единиц назад и взять значение f(x − a). Поэтому f(x − a) означает сдвиг вправо, а f(x + a) — сдвиг влево.

Чтобы построить перенесённый график, выбирают несколько удобных точек исходного графика и прибавляют к каждой абсциссе одно и то же число. При сдвиге вправо на a получают (x + a, y), при сдвиге влево — (x − a, y). После этого точки соединяют линией, сохраняя прежний вид графика.

Горизонтальный перенос сохраняет форму и размеры графика, потому что одинаковый вектор прибавляется ко всем точкам. Расстояние между любыми двумя соответствующими точками не меняется, как и взаимное расположение частей графика. Не меняется и область значений, то есть набор возможных ординат, хотя область определения сдвигается по оси абсцисс.

Горизонтальный перенос графика функции y=f(x)

Таблица позволяет сразу сопоставить направление сдвига, координаты точек и формулу. В столбце «Сдвиг вправо» число a считается положительным, а в столбце «Сдвиг влево» указано движение на такое же расстояние в противоположную сторону. При решении задачи сначала найдите направление, затем выберите соответствующую строку с формулой.

Разбор задач

Задача 1

Определим, куда и на сколько перенесён график y = x² при переходе к графику y = (x − 3)². Исходная функция имеет вид y = f(x), где f(x) = x². Нужно сравнить новую формулу с правилом горизонтального сдвига.

1. Записываем общий вид переноса вправо: y = f(x − a).
2. Сравниваем его с y = (x − 3)² и видим, что a = 3.
3. Следовательно, график сдвинут вправо на 3 единицы. Например, вершина (0, 0) переходит в точку (3, 0).

Ответ: график y = x² перенесён вправо на 3 единицы.

Задача 2

Построим y = |x + 2| по графику y = |x|. Внутри аргумента стоит x + 2, поэтому направление сдвига будет противоположным знаку перед числом. Для построения достаточно перенести вершину и несколько других точек.

1. Сопоставляем формулу с видом y = f(x + a) и получаем a = 2.
2. Переносим график y = |x| влево на 2 единицы: вершина (0, 0) переходит в (−2, 0).
3. Точки (1, 1) и (−1, 1) переходят соответственно в (−1, 1) и (−3, 1), после чего строим такую же V-образную линию.

Ответ: график y = |x + 2| получается сдвигом y = |x| влево на 2 единицы.

Задача 3

После переноса исходного графика вправо на 4 единицы получен график y = (x − 4)² + 1. Требуется восстановить исходную функцию и найти координаты её вершины. При обратном действии график нужно мысленно вернуть влево на 4 единицы.

1. Для отмены сдвига вправо заменяем x в новой формуле на x + 4: y = ((x + 4) − 4)² + 1.
2. Упрощаем выражение и получаем исходную функцию y = x² + 1.
3. Вершина исходной параболы находится при x = 0 и имеет ординату 1, поэтому её координаты (0, 1).

Ответ: исходная функция — y = x² + 1, вершина — (0, 1).

Типичные ошибки

Сдвиг влево вместо вправо. Ученик видит минус в f(x − a) и выбирает левое направление, потому что воспринимает знак буквально. Проверка проста: точка с прежней абсциссой 0 при сдвиге вправо должна попасть в точку с абсциссой a.

Изменение ординаты. Иногда к y прибавляют число, хотя перенос идёт вдоль оси абсцисс. При горизонтальном сдвиге второй координатный компонент не меняется, поэтому у соответствующих точек должны быть одинаковые y.

Перенос отдельных точек на разные расстояния. Такая ошибка искажает форму графика, потому что точки перестают перемещаться одним вектором. Проверьте разность новых и старых абсцисс: она должна быть одинаковой для всех выбранных точек.

Запись f(x) + a после сдвига вправо. Число вне аргумента изменяет ординаты и задаёт вертикальное перемещение. Чтобы проверить себя, посмотрите, изменилось ли значение y: при горизонтальном переносе оно сохраняется.

Связь с другими темами

До изучения переноса нужны координаты точки, умение строить график функции и понимание записи y = f(x). Без этих навыков трудно сопоставить формулу с движением точек на координатной плоскости.

Правило горизонтального сдвига применяется к квадратичным, показательным, тригонометрическим и другим функциям. Оно позволяет строить знакомый график, не выполняя вычисления для каждой его точки заново.

По виду формулы и положению графика можно распознавать его параметры. Это пригодится при исследовании функций и восстановлении формулы по изображённому графику.

Что запомнить

• При переносе вдоль оси абсцисс ординаты точек не изменяются.
• Сдвиг на a вправо задаётся формулой y = f(x − a).
• Сдвиг на a влево задаётся формулой y = f(x + a).
• Вектор переноса вправо на a равен (a, 0), а влево на a — (−a, 0).
• Горизонтальный перенос не изменяет форму и размеры графика.
• Все точки графика перемещаются на один и тот же вектор.
• Чтобы построить новый график, достаточно перенести основные точки исходного графика.