"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Двойной радикал — это квадратный корень, под которым находится выражение с другим корнем, например √(5 + 2√6). Иногда его можно заменить суммой или разностью обычных квадратных корней. Для этого подбирают два неотрицательных числа: их сумма должна совпасть с внешним числом, а произведение — с числом под внутренним корнем. Такое преобразование упрощает вычисления и помогает решать задачи с радикалами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двойной радикал — выражение, в котором под знаком квадратного корня находится сумма или разность, содержащая другой квадратный корень. Например, √(5 + 2√6) — двойной радикал, потому что внутри внешнего корня есть √6. Такие выражения иногда удаётся упростить, заменив их суммой или разностью обычных корней.
Представление двойного радикала в виде суммы квадратных корней — запись √(a + 2√b) = √m + √n, где m + n = a и mn = b. Буквы m и n обозначают числа под новыми корнями, а не сами корни. Определение помогает понять, какие числа нужно подобрать, чтобы простая сумма после возведения в квадрат дала исходное выражение.
Выделение полного квадрата подкоренного выражения — преобразование, при котором выражение распознают как (√m + √n)² или (√m − √n)². Полным квадратом называют выражение, которое можно записать как квадрат другого выражения. Такой вид нужен, чтобы извлечь квадратный корень и получить сумму или разность корней.
Преобразование двойного радикала с разностью — запись √(a − 2√b) как √m − √n при подходящих m и n. Их сумма должна равняться a, а произведение — b. Чтобы разность главных квадратных корней была неотрицательной, числа располагают так, чтобы m ≥ n ≥ 0.
Чтобы разложить √(a + 2√b), предположим, что ответ имеет вид √m + √n. Возведём его в квадрат: (√m + √n)² = m + n + 2√(mn). В полученном выражении отдельно видны обычная часть и часть с корнем, поэтому для совпадения с a + 2√b нужны равенства m + n = a и mn = b. Именно эти два условия позволяют подобрать подходящие числа, а не угадывать ответ на вид.
Если подобрать m и n трудно, их можно найти через квадратное уравнение. Числа с суммой a и произведением b являются корнями уравнения t² − at + b = 0: по теореме Виета сумма корней равна a, а произведение — b. Формула даёт m и n: (a ± √(a² − 4b)) / 2. Но одной формулы недостаточно: корни уравнения должны быть неотрицательными, иначе их нельзя использовать как подкоренные числа.
Для выражения с минусом работает равенство (√m − √n)² = m + n − 2√(mn). Поэтому снова ищут числа с суммой a и произведением b, а затем записывают разность корней. Порядок важен: при m ≥ n разность √m − √n неотрицательна и может быть значением главного квадратного корня. Если сначала поставить меньший корень, получится отрицательное число, хотя квадратный корень по определению неотрицателен.
Обе формулы связаны с дискриминантом уравнения t² − at + b = 0. Подкоренное выражение в формуле корней равно a² − 4b; оно должно быть неотрицательным, чтобы корни были вещественными. Затем проверяют, что сами m и n неотрицательны. Для суммы обычно достаточно, чтобы оба числа существовали и были неотрицательны; для разности дополнительно выбирают порядок от большего к меньшему.
После преобразования нужно проверить область допустимых значений — то есть убедиться, что каждый квадратный корень берётся от неотрицательного числа. Затем полезно возвести результат в квадрат: для суммы проверить знак плюс перед 2√(mn), для разности — знак минус. Такая проверка обнаруживает и ошибку в подборе чисел, и неверный порядок корней. Она особенно важна, потому что возведение в квадрат само по себе может скрыть знак исходного выражения.
| Вид подкоренного выражения | Условия | Результат преобразования |
|---|---|---|
| a + 2√b | m ≥ 0, n ≥ 0; m + n = a, mn = b | √(a + 2√b) = √m + √n |
| a − 2√b | m ≥ n ≥ 0; m + n = a, mn = b | √(a − 2√b) = √m − √n |
| Как найти m и n | Решить t² − at + b = 0; проверить, что корни неотрицательны | m, n = (a ± √(a² − 4b)) / 2 |
| Проверка результата | Убедиться, что подкоренные числа неотрицательны; для разности m ≥ n | Возвести сумму или разность в квадрат |
Сначала приведите выражение к виду a ± 2√b, а затем выберите строку по знаку. После этого найдите m и n по сумме и произведению либо решите квадратное уравнение. Перед записью ответа проверьте неотрицательность чисел и, для разности, их порядок.
Ищем числа m и n, для которых m + n = 5, а mn = 6. Перебирая пары множителей числа 6, видим, что 2 + 3 = 5. Оба числа положительны, значит подходят для подкоренных выражений.
Подставляем найденные числа в формулу суммы: √(5 + 2√6) = √2 + √3. Проверим: (√2 + √3)² = 2 + 3 + 2√6 = 5 + 2√6. Получился квадрат исходного подкоренного выражения, а сумма корней неотрицательна.
Ответ: √2 + √3.
Чтобы сравнить выражение с формулой, перепишем внутреннюю часть: 4√3 = 2√12. Теперь ищем m и n с суммой 7 и произведением 12. Подходят 4 и 3, потому что 4 + 3 = 7 и 4 · 3 = 12.
Знак минус требует разности корней, а большему числу соответствует первый корень. Поэтому записываем √4 − √3 = 2 − √3. Проверка: (2 − √3)² = 4 + 3 − 4√3 = 7 − 4√3; при этом 2 − √3 положительно, так как 2 > √3.
Ответ: 2 − √3.
В формуле перед внутренним корнем стоит коэффициент 2, поэтому сначала перепишем √65 как 2√(65/4). Теперь a = 9, b = 65/4, а искомые числа имеют сумму 9 и произведение 65/4. По формуле получаем m и n: (9 ± √(81 − 65)) / 2 = (9 ± 4) / 2.
Значит, m = 13/2, n = 5/2; оба числа неотрицательны. Записываем сумму √(13/2) + √(5/2). При возведении в квадрат сумма подкоренных чисел равна 9, а удвоенный корень произведения равен √65, как и требовалось.
Ответ: √(13/2) + √(5/2).
Ошибка: считать, что √(a + 2√b) = √a + √(2√b). Квадратный корень не распределяется по сумме: квадрат суммы содержит ещё слагаемое, связанное с произведением корней. Эту ошибку допускают, перенося на корни знакомые правила раскрытия скобок. Проверяйте предполагаемое равенство возведением правой части в квадрат.
Ошибка: подобрать числа только по условию m + n = a. Тогда сумма может совпасть, но внутренний корень — нет, поскольку за него отвечает произведение mn. Например, при сумме 5 числа 1 и 4 дают произведение 4, а не 6. Перед записью ответа обязательно проверяйте оба условия.
Ошибка: использовать разность корней, не проверив, что m ≥ n ≥ 0. Если первым поставить меньшее число, разность станет отрицательной, а главный квадратный корень не бывает отрицательным. Иногда при подборе замечают нужные числа, но забывают, что их порядок влияет на знак. Сравните m и n и проверьте знак результата.
Ошибка: потерять множитель 2 и принять коэффициент при внутреннем корне за само произведение mn. В формуле квадрат суммы стоит 2√(mn), поэтому в выражении a + 2√b выполняется именно mn = b. Путаница часто возникает, когда сравнивают только числа под радикалами. Для самопроверки запишите формулу квадрата целиком и сопоставьте с ней выражение.
Для преобразования нужны свойства квадратного корня и формулы квадрата суммы и разности: именно раскрытие скобок объясняет условия на сумму и произведение. Умение решать квадратные уравнения помогает находить числа m и n, если их не удаётся подобрать устно. Двойные радикалы встречаются в выражениях, которые требуется упростить или вычислить. При решении уравнений такое преобразование может сделать запись удобнее, но после него всё равно нужно проверять допустимость корней.
Как понять, можно ли разложить двойной радикал на сумму квадратных корней?
Для √(a + 2√b) нужно проверить, существуют ли неотрицательные m и n, для которых m + n = a и mn = b. Это можно выяснить, решив уравнение t² − at + b = 0: его корни должны быть неотрицательными.
Почему при разложении нужно искать числа и с заданной суммой, и с заданным произведением?
При возведении √m + √n в квадрат получается m + n + 2√(mn). Поэтому сумма m и n создаёт внешнюю часть выражения, а произведение — число под внутренним корнем.
Как найти эти числа, если подбором не получается?
Решите квадратное уравнение t² − at + b = 0. Если его корни вещественные и неотрицательные, они и будут числами m и n; их можно также вычислить по формуле (a ± √(a² − 4b)) / 2.
Когда в ответе нужно брать сумму корней, а когда разность?
Знак перед внутренним корнем подсказывает нужную формулу: плюс соответствует сумме √m + √n, минус — разности √m − √n. Для разности расположите числа так, чтобы m ≥ n: тогда результат неотрицателен.
Как проверить, что преобразование выполнено правильно?
Возведите полученную сумму или разность в квадрат и сравните с исходным подкоренным выражением. Дополнительно проверьте, что все числа под корнями неотрицательны, а в разности первый корень не меньше второго.
20. Преобразование двойных радикалов
