"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г. и др. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г.
Система уравнений объединяет несколько уравнений с одними и теми же неизвестными. Её решение — такой набор значений, который одновременно подходит каждому уравнению. Для поиска решений используют подстановку, сложение или вычитание уравнений, введение новых переменных и графический метод. Главная цель всех преобразований — упростить систему, не потеряв подходящие решения и не добавив лишние.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, записанных вместе. Например, x + y = 7 и 2x − y = 2 образуют систему. Это понятие нужно, чтобы искать не отдельные корни каждого уравнения, а общие значения переменных.
Решение системы — набор значений неизвестных, при подстановке которого каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Для двух неизвестных такой набор обычно записывают парой (x; y). Проверка должна выполняться сразу во всех уравнениях.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. При решении исходную систему заменяют более простой равносильной системой. Это позволяет выполнять преобразования и быть уверенным, что подходящие решения не изменились.
Метод подстановки — способ решения системы, при котором выражение для одной неизвестной подставляют вместо неё в другое уравнение. Так две неизвестные сводятся к одной, а полученное уравнение можно решить известными способами.
Уравнения системы нельзя решать полностью независимо друг от друга: корень первого уравнения может не подходить второму. Например, одно уравнение задаёт все точки некоторой линии, а второе — другую линию; нужны только их общие точки. Поэтому после нахождения значений всегда проверяют их одновременно во всех уравнениях.
При подстановке сначала выбирают уравнение, из которого проще выразить одну неизвестную. Если y = 7 − x, это выражение подставляют вместо y в другое уравнение. Получается уравнение только с x, а после нахождения x выражение используют для вычисления y. Такой переход удобен, потому что задача о двух неизвестных превращается в обычное уравнение.
Сложение или вычитание уравнений помогает исключить неизвестную, если её коэффициенты совпадают или противоположны. Если коэффициенты различаются, одно или оба уравнения предварительно умножают на подходящие числа, не забывая умножить на них обе части. После исключения одной переменной находят вторую, затем возвращаются к первой. Метод особенно удобен для линейных систем.
Иногда в уравнениях повторяются целые выражения, например x + y и xy. Тогда их заменяют новыми переменными: это уменьшает число громоздких записей и раскрывает знакомую формулу. После решения вспомогательной системы найденные значения нужно связать с x и y, иначе решение останется неполным. Ограничения исходных выражений также проверяют отдельно.
Выбирайте метод не по названию системы, а по её виду. Сначала ищите простое выражение для подстановки или одинаковые комбинации, которые можно заменить. Если вычисления неудобны, полезно сравнить два метода и выбрать тот, где меньше действий.
| Метод | Основной приём | Когда удобно применять | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну неизвестную и подставить в другое уравнение | Когда одно уравнение легко разрешить относительно одной неизвестной | Подходят ли найденные значения исходной системе |
| Сложение уравнений | Сложить или вычесть уравнения, чтобы исключить неизвестную | Когда коэффициенты при одной неизвестной совпадают или их легко сделать противоположными | Не потеряны ли решения при преобразованиях |
| Введение новых переменных | Заменить повторяющиеся выражения вспомогательными переменными | Когда уравнения содержат одинаковые комбинации неизвестных | Допустимы ли найденные значения новых переменных и как они связаны с исходными |
| Графический метод | Найти точки пересечения графиков уравнений | Когда уравнения можно представить как графики функций и нужен наглядный поиск решений | Точность графического результата и проверка подстановкой |
Условие: решить систему x + y = 7; 2x − y = 2. Коэффициенты при y противоположны, поэтому сложение сразу уберёт эту неизвестную.
Ответ: (3; 4).
Условие: решить систему y = x²; x + y = 6. Первое уравнение уже выражает y, поэтому его удобно подставить во второе.
Ответ: (2; 4), (−3; 9).
Условие: решить систему x² + y² = 25; xy = 12. Введём u = x + y, потому что квадрат этой суммы содержит оба данных выражения.
Ответ: (3; 4), (4; 3), (−3; −4), (−4; −3).
Решают уравнения системы по отдельности и считают все корни решениями. Так забывают об общем условии: подходит только набор, верный во всех уравнениях. Проверяйте каждую найденную пару подстановкой в исходную систему.
При подстановке забывают скобки или заменяют не ту неизвестную. Например, вместо y выражение нужно подставлять во все места, где встречается y, сохраняя знаки. Полезно сначала переписать уравнение с этим выражением в скобках.
При исключении неизвестной складывают уравнения с неподходящими коэффициентами. Если коэффициенты не уничтожаются, сначала умножьте уравнения на подходящие числа. После операции отдельно проверьте, действительно ли нужный член исчез.
После замены переменных не возвращаются к исходным неизвестным или игнорируют ограничения. Значение новой переменной само по себе ещё не даёт пару x и y. Запишите обратные связи и проверьте полученные значения в исходных уравнениях.
Для решения систем нужны навыки преобразования выражений, решения линейных и квадратных уравнений, а также проверки корней подстановкой. Эти умения помогают выбрать короткий метод и заметить ошибку в вычислениях.
Системы понадобятся при изучении нелинейных уравнений, задач с несколькими неизвестными и преобразований, которые сводят сложное уравнение к нескольким более простым. Графический способ связывает тему с графиками функций и координатной плоскостью.
Можно ли складывать или вычитать уравнения системы?
Да, можно складывать или вычитать левые и правые части уравнений, потому что равные выражения остаются равными. Часто это позволяет уничтожить одну неизвестную и получить уравнение с другой.
Как понять, какое уравнение удобнее использовать для подстановки?
Выбирайте уравнение, из которого легко выразить одну неизвестную без сложных дробей и дополнительных преобразований. Особенно удобно, если коэффициент при неизвестной равен 1 или −1.
Почему при решении системы иногда вводят новые переменные?
Новые переменные заменяют повторяющиеся выражения, например x + y или xy. Благодаря этому громоздкая система превращается в более простую, но после решения нужно восстановить исходные x и y.
Могут ли преобразования системы привести к посторонним решениям?
Равносильные преобразования сохраняют множество решений, но отдельные действия, например возведение в квадрат, могут добавить посторонние пары. Поэтому найденные значения проверяют в исходной системе.
Как проверить, что найденная пара действительно является решением?
Подставьте оба значения в каждое исходное уравнение и выполните вычисления. Пара является решением только тогда, когда все получившиеся равенства верны одновременно.
§ 11. Методы решения систем уравнений
