"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г. и др. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г.
Уравнение с двумя переменными задаёт условие для пары чисел, а система объединяет несколько условий, которые должны выполняться одновременно. Решения уравнения можно представить точками на координатной плоскости — они образуют его график. Решения системы уравнений являются общими точками графиков, а решения системы неравенств образуют пересечение соответствующих областей. Эти понятия нужны для графического и аналитического решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с двумя переменными — это равенство, содержащее две переменные, обычно x и y. Оно задаёт условие на пару их значений: подходят не любые числа, а только те, при которых равенство становится верным. Это понятие нужно, чтобы описывать зависимость двух величин и находить все допустимые пары.
Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара (x; y), которая обращает уравнение в верное равенство. У такого уравнения может быть несколько решений, одно решение или ни одного решения. Поэтому при записи пары порядок важен: (2; 1) и (1; 2) — разные пары.
Система уравнений с двумя переменными — это несколько уравнений, объединённых в одну запись. Их решения должны выполняться одновременно, а не по отдельности. Системы используют, когда неизвестные связаны сразу несколькими условиями.
Решение системы — пара значений переменных, которая является решением каждого уравнения системы. Если пара подходит хотя бы не к одному условию, она не является решением всей системы. Значит, при решении нужно учитывать все ограничения сразу.
Проверить пару (a; b) можно непосредственной подстановкой: вместо x записывают a, а вместо y — b. После вычислений сравнивают левую и правую части получившегося равенства. Такой способ надёжен, потому что решение по определению должно превращать исходное уравнение в верное равенство.
Каждому решению уравнения соответствует точка с координатами (x; y) на плоскости. Если отметить все такие точки, получится график уравнения. Обратно, координаты любой точки этого графика образуют решение, поскольку сама принадлежность графику означает выполнение уравнения.
В системе уравнений одна пара должна подходить каждому уравнению одновременно. Поэтому на плоскости она изображается точкой, которая принадлежит каждому графику системы. Именно поэтому решения системы уравнений — это общие точки графиков, а отсутствие общих точек означает отсутствие решений.
Неравенство с двумя переменными обычно задаёт не отдельную линию, а область плоскости. Граница состоит из точек, где получается равенство; она включается при знаках ≥ и ≤ и не включается при знаках > и <. Оставшуюся часть плоскости выбирают проверкой любой тестовой точки.
Решить систему — значит найти все точки, удовлетворяющие каждому её условию. Для уравнений это поиск общих точек графиков, а для неравенств — пересечение выделенных областей. Точки, подходящие только одному условию, отбрасываются, потому что они не удовлетворяют системе целиком.
| Объект | Что означает решение | Геометрический смысл |
|---|---|---|
| Уравнение с двумя переменными | Пара значений, превращающая равенство в верное | Точка графика уравнения |
| Система уравнений | Пара, удовлетворяющая всем уравнениям системы | Общая точка графиков |
| Неравенство с двумя переменными | Пара, удовлетворяющая знаку неравенства | Точка выделенной области, возможно на её границе |
| Система неравенств | Пара, удовлетворяющая всем неравенствам | Пересечение областей решений |
В таблице сначала определяют, каким условиям должна соответствовать пара чисел. Затем переводят это условие на координатную плоскость. Для системы всегда нужно искать не весь отдельный график или область, а только их общую часть.
Задача 1. Проверить, является ли пара (2; 1) решением уравнения 2x + y = 5. Нужно внимательно сохранить порядок координат: число 2 относится к x, а число 1 — к y.
Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения.
Задача 2. Найти решения системы x + y = 3, x − y = 1 и объяснить их графический смысл. Искомая пара должна удовлетворять сразу двум равенствам, поэтому одного подходящего уравнения недостаточно.
Ответ: (2; 1). На координатной плоскости эта пара является точкой пересечения прямых x + y = 3 и x − y = 1.
Задача 3. Изобразить множество решений системы y ≥ x², x + y ≤ 4. Первое неравенство задаёт область над параболой, а второе — область по одну сторону от прямой. Нужно оставить только точки, попавшие в обе области.
Ответ: множество решений — общая область над параболой и под прямой, включая обе границы.
Первая ошибка — считать решением системы пару, подходящую только одному уравнению. Так происходит, если проверяют условия по очереди и останавливаются после первого успеха. Проверьте найденную пару во всех уравнениях системы.
Вторая ошибка — переставлять координаты при подстановке. Упорядоченная пара (a; b) означает x = a и y = b, поэтому замена чисел меняет результат. Запишите рядом с парой, какое число относится к каждой переменной.
Третья ошибка — неверно изобразить область неравенства: забыть границу или выбрать не ту сторону. Граница включается при ≤ и ≥, а сторону удобно определить подстановкой тестовой точки. После построения проверьте одну точку выделенной области непосредственно в неравенстве.
Четвёртая ошибка — принять любую точку графика одного уравнения за решение системы. Такая точка может нарушать другое условие. Ищите только общие точки графиков и подставляйте их координаты во все уравнения.
Перед изучением темы нужны координаты точки на плоскости, подстановка значений в выражения и построение графиков линейных уравнений. Эти навыки позволяют переходить от формулы к точкам и областям. Без них трудно проверить пару или найти пересечение графиков.
Понятия решения и множества решений используются при графическом и аналитическом решении систем уравнений и неравенств. Сначала определяют, какие пары допустимы, а затем находят их удобным способом. Поэтому определения из этого параграфа становятся основой дальнейших алгоритмов.
Геометрическое представление помогает исследовать взаимное расположение графиков и областей на координатной плоскости. По нему можно понять, есть ли решения, сколько их и где они находятся. Это связывает алгебраические условия с наглядной картиной.
Может ли уравнение с двумя переменными иметь бесконечно много решений?
Да, может. Например, уравнение x + y = 3 имеет бесконечно много решений: каждой допустимой координате x соответствует значение y = 3 − x.
Как проверить, является ли пара чисел решением уравнения?
Первое число подставьте вместо x, а второе — вместо y. Затем вычислите обе части уравнения и проверьте, получилось ли верное равенство.
Почему решение системы уравнений — это общая точка графиков?
Координаты точки графика каждого уравнения образуют его решение. Поэтому точка, принадлежащая графикам всех уравнений системы, имеет координаты, удовлетворяющие им одновременно.
Чем решение системы отличается от решения одного уравнения?
Решение одного уравнения должно удовлетворять только одному условию. Решение системы обязано одновременно удовлетворять каждому уравнению или неравенству, входящему в систему.
Как изобразить множество решений системы неравенств?
Сначала постройте границу и выделите область решений каждого неравенства. Затем найдите их общую часть — именно она и будет множеством решений системы.
§ 10. Основные понятия, связанные с системами уравнений и неравенств с двумя переменными
