§ 9. Неравенства с двумя переменными

Определения и обозначения

Неравенство с двумя переменными — неравенство, в котором участвуют две переменные, например x и y. Пример такой записи: x + y < 5. Переменные могут принимать разные значения, поэтому запись задаёт не одно числовое сравнение, а условие для пар чисел. Это понятие нужно, чтобы описывать связь между значениями двух величин.

Решение неравенства с двумя переменными — упорядоченная пара чисел, при подстановке которой получается верное числовое неравенство. Например, в паре (1; 2) первое число подставляют вместо x, а второе — вместо y. Порядок важен: пара (2; 1) может дать другой результат. Проверка пары позволяет понять, подходит ли она под заданное условие.

Множество решений неравенства — все пары чисел, которые являются его решениями. На координатной плоскости каждой паре соответствует точка, поэтому множество решений можно представить как область точек. Такая картина наглядно показывает сразу все подходящие пары, а не только одну найденную. Это удобно, когда решений много и перечислить их невозможно.

Графическое решение неравенства — изображение множества его решений на координатной плоскости. Обычно сначала строят линию, которая отделяет подходящие точки от неподходящих, а затем выбирают нужную сторону. Так можно увидеть форму и расположение всего множества решений. Графический способ особенно полезен для линейных неравенств и их систем.

Как это устроено

Если в неравенстве заменить знак на знак равенства, получится уравнение, например из y > 2x − 1 выйдет y = 2x − 1. Все точки этой прямой делают сравниваемые выражения равными, поэтому на самой линии неравенство меняет свой характер: по разные стороны от неё выражения оказываются то больше, то меньше друг друга. Значит, прямая отделяет точки, удовлетворяющие условию, от тех, которые ему не удовлетворяют. Поэтому её называют границей множества решений.

Одна граница делит плоскость на две полуплоскости, но обычно подходит только одна из них. Чтобы выбрать её, берут пробную точку, которая не лежит на границе, и подставляют её координаты в исходное неравенство. Если подстановка даёт верное утверждение, вся полуплоскость с этой точкой подходит; если неверное — подходит другая. Это работает потому, что внутри каждой из двух частей выражение не пересекает нулевую границу, а значит, знак сравнения там не меняется.

Для строгого неравенства, например y > 2x − 1, точки границы дают равенство y = 2x − 1, а равенство не удовлетворяет знаку «больше». Поэтому граничные точки исключают и линию обычно показывают пунктиром. При нестрогом знаке, например y ≥ 2x − 1, равенство допустимо, так что точки границы входят в множество решений и линию проводят сплошной. Эта разница не меняет выбор полуплоскости, но меняет принадлежность самой границы.

Линейное неравенство изображают в несколько действий: строят граничную прямую, выбирают точку вне неё, проверяют точку подстановкой и выделяют подходящую полуплоскость. Если точка лежит на границе, её нельзя использовать как проверочную: она не указывает, какую сторону выбрать. Часто удобно проверить начало координат (0; 0), если оно не лежит на прямой. Так построение опирается не на догадку о расположении области, а на проверку исходного условия.

В системе каждое неравенство задаёт своё множество решений. Пара чисел является решением системы только тогда, когда одновременно выполняются все её условия, поэтому на плоскости подходят лишь точки, попавшие во все области сразу. Иначе говоря, нужно найти общую часть областей, а не закрасить их объединение. Для граничных линий проверяют включение отдельно по каждому знаку: общая точка границ подходит лишь тогда, когда выполняются все соответствующие условия.

Как изображают множества решений неравенств с двумя переменными

Сначала по строке определите вид условия и проведите нужную границу. Затем проверьте пробную точку, чтобы выбрать полуплоскость, а по последнему столбцу решите, включать ли границу. Для системы выполняйте эти действия для каждого неравенства и оставляйте только общую часть.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, является ли пара (1; 2) решением неравенства x + y < 5. Нужно выяснить, выполняется ли условие именно при x = 1 и y = 2. Если после подстановки получится верное числовое неравенство, пара подходит. Если оно окажется неверным, эта пара решением не является.

1. Подставим первое число пары вместо x, а второе вместо y: 1 + 2 < 5.
2. Вычислим левую часть: 3 < 5. Это верное числовое неравенство.
3. Значит, выбранная пара удовлетворяет исходному условию.

Ответ: да, пара (1; 2) является решением неравенства.

Задача 2. Изобразить множество решений неравенства y > 2x − 1. Сначала нужно найти линию, на которой вместо знака неравенства получается равенство. Затем важно определить, какая сторона этой линии удовлетворяет исходному условию, и не включить саму границу. Так рисунок будет точно соответствовать знаку «больше».

1. Строим граничную прямую y = 2x − 1. Для построения можно взять две точки: при x = 0 получаем y = −1, а при x = 1 получаем y = 1.
2. Проверим точку (0; 0). Она не лежит на прямой, а подстановка даёт 0 > −1 — верное утверждение.
3. Значит, выбираем полуплоскость со стороны начала координат. Поскольку неравенство строгое, прямую не включаем и изображаем пунктиром.

Ответ: область выше прямой y = 2x − 1, не включая эту прямую.

Задача 3. Изобразить множество решений системы y ≥ x, y < 3 и x ≥ 0. Здесь точка должна одновременно удовлетворять трём условиям, поэтому нельзя ограничиться построением только одной области. Каждая граница задаёт отдельное ограничение, а в конце нужно оставить их общую часть. Знаки также подскажут, какие линии включить.

1. Для y ≥ x строим прямую y = x и выбираем область выше неё; граница включается.
2. Условие y < 3 задаёт область ниже горизонтальной прямой y = 3; эту границу не включаем.
3. Условие x ≥ 0 означает область справа от вертикальной прямой x = 0, включая её.
4. Пересекаем выбранные области: остаются точки справа от оси y, выше прямой y = x и ниже прямой y = 3.

Ответ: общая часть трёх областей; прямые y = x и x = 0 включены, а прямая y = 3 не включена.

Типичные ошибки

Считать одну найденную пару единственным решением. Так происходит, когда ученик проверяет пример и останавливается на нём, хотя неравенство задаёт условие для множества пар. Проверьте себя: спросите, перечислены ли все подходящие пары или показано множество решений. Для графического решения обычно нужна область, а не одна точка.

Не проверять, какую сторону граничной прямой выбрать. Прямая делит плоскость на две части, и выбор стороны на глаз может привести к противоположному ответу. После построения возьмите точку, не лежащую на прямой, и подставьте координаты в исходное неравенство. Проверка покажет, подходит ли выбранная полуплоскость.

Неверно учитывать граничную линию. Границу включают при знаках ≤ и ≥, но исключают при < и >, потому что на линии выражения равны. Ошибку часто допускают, ориентируясь только на то, что прямая нарисована. Сверьте знак в условии и обозначение границы: включённую обычно рисуют сплошной, исключённую — пунктиром.

При решении системы заштриховывать объединение областей вместо общей части. Это случается, если считать достаточным выполнение хотя бы одного условия. Но система требует, чтобы выполнялись все неравенства одновременно. Проверьте рисунок: оставленные точки должны принадлежать каждой выбранной области, а не только одной из них.

Связь с другими темами

Для проверки пары нужно уметь подставлять числа вместо переменных и сравнивать полученные значения. Для графического решения понадобятся координатная плоскость, построение точек и прямых, а также понимание, как прямая делит плоскость на полуплоскости. Эти навыки связывают вычисления с геометрическим изображением множества решений. Они пригодятся при изучении систем неравенств и задач на оптимизацию, где нужно найти допустимую область значений.

Что запомнить

• Решение — это пара значений переменных, превращающая неравенство в верное числовое утверждение.
• Множество решений изображают областью на координатной плоскости.
• Равенство, полученное заменой знака неравенства, задаёт границу области.
• Чтобы выбрать нужную сторону границы, проверяют подходящую точку.
• При строгом неравенстве граница не входит в множество решений.
• Решения системы составляют общую часть множеств решений всех её неравенств.