"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Неравенство с двумя переменными может иметь не одну, а множество пар решений. Каждой паре чисел соответствует точка координатной плоскости, поэтому все решения можно показать на чертеже как область. Для линейного неравенства её границей служит прямая: пробная точка помогает выбрать нужную полуплоскость. Если знак неравенства строгий, прямая не входит в множество решений и изображается пунктиром; при нестрогом знаке граница включается и проводится сплошной линией.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство с двумя переменными — это неравенство, в котором участвуют две переменные, например x и y. Его истинность зависит от того, какие числа выбрать вместо переменных: одна пара может сделать неравенство верным, другая — неверным. Так записывают условия сразу для множества возможных значений, а не только для одного числа. Например, x + 2y < 5 задаёт условие на пару x и y.
Решение неравенства с двумя переменными — это пара значений переменных, при подстановке которой получается верное числовое неравенство. Пару записывают в установленном порядке: (x; y), то есть сначала значение x, затем значение y. Это определение позволяет проверить конкретную пару без построения рисунка. Если после подстановки условие не выполняется, пара решением не является.
Множество решений — это все пары значений, удовлетворяющие данному неравенству. На координатной плоскости каждой паре (x; y) соответствует точка с координатами x и y, поэтому множество решений можно представить как совокупность точек. Такое изображение помогает увидеть сразу все подходящие пары, а не перечислять их по одной. Для линейного неравенства множество обычно занимает часть плоскости по одну сторону от прямой.
Граница области решений показывает, где заканчивается выбранная часть плоскости. Для нестрогих знаков ≥ и ≤ точки границы входят в множество решений, а для строгих знаков > и < не входят. Это различие определяет, как проводить граничную линию на чертеже. По обозначению границы можно понять, принадлежат ли решениям точки прямой.
Чтобы проверить, подходит ли пара чисел, подставьте первое значение вместо x, а второе — вместо y. Затем вычислите обе части и проверьте, верен ли получившийся числовой знак. Например, для пары (2; 1) в выражении x + 2y < 5 получается 2 + 2 · 1 < 5, то есть 4 < 5. Пара подходит, потому что последнее утверждение истинно; такая проверка нужна, чтобы не полагаться на вид записи.
Геометрическое изображение получается из соответствия между парами чисел и точками: абсцисса точки равна x, а ордината — y. Поэтому каждой паре, которая удовлетворяет неравенству, можно поставить в соответствие точку и отметить её на плоскости. Вместе эти точки образуют область решений. Такой способ удобен, когда решений бесконечно много и перечислить их все невозможно.
Для линейного неравенства, например ax + by > c, сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и получают ax + by = c. Это уравнение задаёт прямую: все её точки дают равенство, то есть находятся ровно на границе двух областей. Прямая делит плоскость на две полуплоскости, и по разные её стороны выражение принимает значения, которые удовлетворяют разным сторонам исходного условия. Поэтому граничная прямая помогает отделить подходящие точки от неподходящих.
Чтобы выбрать нужную полуплоскость, возьмите пробную точку, не лежащую на граничной прямой, и подставьте её координаты в исходное неравенство. Например, для y > x − 2 удобно проверить точку (0; 0): получится 0 > −2, это верно. Значит, подходит сторона, содержащая начало координат; если бы подстановка дала неверное утверждение, нужно было бы выбрать другую сторону. Проверка нужна потому, что положение нужной области зависит от конкретного знака и уравнения, а не только от направления линии.
В строгом неравенстве граничные точки не удовлетворяют условию: на прямой вместо знака > или < получается равенство. Поэтому границу рисуют пунктиром, показывая, что она отделяет области, но сама не входит в множество решений. При нестрогом знаке ≥ или ≤ точки прямой удовлетворяют неравенству вместе с равенством, поэтому линию проводят сплошной. Так обозначение линии сохраняет на рисунке важную информацию о принадлежности граничных точек.
| Вид неравенства | Граничная прямая | Граница входит в множество решений? | Изображение на координатной плоскости |
|---|---|---|---|
| ax + by > c или ax + by < c | ax + by = c | Нет | Пунктирная прямая; выбирают нужную полуплоскость |
| ax + by = c | ax + by = c | Да, решения — точки самой прямой | Сплошная прямая |
| ax + by ≥ c или ax + by ≤ c | ax + by = c | Да | Сплошная прямая; выбирают нужную полуплоскость |
Сначала найдите уравнение граничной прямой и постройте её, затем пробной точкой определите подходящую сторону. После этого выберите пунктирное или сплошное изображение по знаку неравенства. Для уравнения вместо области решений получается сама прямая.
Проверим пару подстановкой: координата x равна 2, а координата y равна 1. Нужно вычислить левую часть и сравнить результат с 5. Такой порядок позволяет прямо проверить определение решения, не строя график.
Ответ: пара (2; 1) является решением. Решение здесь — именно пара значений, потому что в условии участвуют две переменные.
Сначала найдём линию, на которой вместо неравенства получается равенство. Она разделит плоскость на две части, а пробная точка поможет понять, какая из них подходит. Так как знак строгий, точки самой линии в ответ не войдут.
Ответ: пунктирная прямая y = x − 2 и полуплоскость над ней, без самой прямой.
Удобно выразить y через x, чтобы увидеть, какая сторона прямой подходит. При переносе слагаемых знак неравенства не меняется, а при умножении или делении на отрицательное число он обязательно поменялся бы. После преобразования построим линию и проверим выбор стороны подстановкой.
Ответ: сплошная прямая y = 2x − 4 и полуплоскость над ней, включая границу.
Первая ошибка — считать решением только одну пару, хотя неравенство может иметь множество решений. Так происходит, если пример проверки принимают за полный ответ. Проверьте себя: задача просит найти все пары или проверить конкретную пару? Для линейного неравенства изображают область, а отдельную пару называют решением только при проверке заданных значений.
Вторая ошибка — выбирать полуплоскость только по внешнему виду графика. Наклон прямой сам по себе не сообщает, какая сторона удовлетворяет знаку. Подставьте координаты пробной точки, не лежащей на прямой, в исходное неравенство. Если утверждение верно, нужная сторона содержит эту точку; такая проверка помогает заметить неверный выбор.
Третья ошибка — путать пунктирную и сплошную границу. Иногда линию проводят по привычке, не проверив, входит ли равенство в условие. Сопоставьте знак: при > или < граница не входит, поэтому нужна пунктирная линия; при ≥ или ≤ она входит, поэтому нужна сплошная. Точки самой прямой при подстановке позволяют проверить этот вывод.
Четвёртая ошибка возникает при преобразовании: обе части умножают или делят на отрицательное число, но знак оставляют прежним. Из-за этого выбирается противоположное условие и может быть закрашена не та сторона. Вспомните правило: при умножении или делении на отрицательное число знак меняют на противоположный. Проверьте результат подстановкой пары, которая должна подходить, или сравните его с исходной записью.
Для чтения графика нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости: первая координата задаёт положение по горизонтали, вторая — по вертикали. Построение граничной линии опирается на умение строить график линейной функции. Поэтому навыки работы с координатами помогают превратить запись неравенства в чертёж.
При проверке пары и преобразовании неравенств пригодятся свойства числовых неравенств. Особенно важно помнить о смене знака при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Если это правило применить неверно, изменится смысл условия и на графике будет выбрана другая область.
Графическое изображение одного неравенства готовит к решению систем неравенств: решения системы должны удовлетворять каждому условию одновременно. Пересечение соответствующих областей показывает все подходящие пары. Похожий подход используют и при изучении областей, заданных ограничениями.
Что именно считается решением неравенства с двумя переменными?
Решение — это упорядоченная пара значений переменных, после подстановки которой получается верное числовое неравенство. Например, для x + 2y < 5 пара (2; 1) подходит, потому что 2 + 2 · 1 < 5.
Почему множество решений изображают областью на координатной плоскости?
Каждой паре (x; y) соответствует точка с координатами x и y. Если несколько пар удовлетворяют неравенству, их точки образуют множество; у линейного неравенства это обычно одна из полуплоскостей.
Как понять, какую из двух полуплоскостей нужно выбрать?
Возьмите пробную точку, которая не лежит на граничной прямой, и подставьте её координаты в исходное неравенство. Если получается верное утверждение, выбирайте полуплоскость с этой точкой; если неверное — противоположную.
Когда граничную прямую проводят пунктиром?
Пунктир обозначает границу для строгого неравенства со знаками > или
Можно ли проверить правильность рисунка подстановкой одной точки?
Да, если выбрать точку не на граничной прямой и проверить её координаты в исходном неравенстве. Это позволяет понять, верно ли выбрана полуплоскость, но отдельно нужно убедиться, что сама прямая построена правильно и её изображение соответствует строгому или нестрогому знаку.
15. Неравенства с двумя переменными
