14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций

Определения и обозначения

Математическая модель — описание реальной ситуации с помощью математических объектов: чисел, выражений, уравнений и неравенств. Она заменяет длинное условие короткими связями между величинами. Модель помогает найти неизвестные или проверить, можно ли выполнить все заданные условия.

Переменная — буква, которой обозначают неизвестную величину ситуации. Например, x может означать число взрослых билетов, а y — число детских. Перед составлением системы нужно точно определить смысл переменных, иначе легко перепутать величины и записать неверную связь.

Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — набор значений переменных, при подстановке которого верно каждое уравнение. Поэтому общего решения недостаточно для одного условия: оно должно описывать все заданные связи сразу.

Система неравенств — несколько неравенств с общими неизвестными, условия которых выполняются одновременно. Её решения — множество допустимых значений, подходящих под все ограничения. Например, запас материала может ограничивать количество изделий, а неравенство не позволяет израсходовать больше имеющегося.

Как это устроено

Сначала реальную ситуацию переводят на язык величин и связей между ними, потому что текст сам по себе не всегда показывает, как именно связаны неизвестные. Нужно выделить, что известно, что требуется найти и какие условия связывают эти величины. Точные зависимости, например равенство общей суммы цене покупки, записывают уравнениями. Ограничения вроде «не более запаса» записывают неравенствами.

Переменные выбирают так, чтобы с их помощью было удобно записать условия задачи. Полезно сразу подписать смысл каждой буквы и единицы измерения: например, x — количество изделий первого вида, штук. Тогда выражение 2x будет означать массу материала, измеренную в килограммах, если на одно изделие требуется 2 кг. Такая запись помогает заметить ошибки, когда в одном равенстве случайно смешаны несопоставимые величины.

Каждое самостоятельное условие задачи превращают в отдельную математическую запись. Если известно общее число предметов и общая цена покупки, нужны две связи: одна для количества, другая для стоимости. После этого записи объединяют в систему, потому что искомые величины должны одновременно соответствовать и количеству, и цене. Если оставить только одно условие, получится слишком много значений, подходящих лишь к части ситуации.

После решения системы нельзя автоматически считать все найденные значения ответом задачи. Математика может допустить, например, отрицательное число билетов или дробное количество людей, хотя в данной ситуации это невозможно. Проверь также единицы измерения и ограничения из условия: скорость должна быть положительной, а расход ресурса не должен превышать запас. Так отбрасывают значения, которые подходят уравнениям, но не подходят реальной ситуации.

Проверка модели начинается с подстановки найденных значений в исходные условия, а не только в преобразованные записи. Убедись, что каждое равенство выполняется и каждое ограничение соблюдается. Затем сформулируй ответ словами, укажи, что именно найдено, и при необходимости добавь единицы измерения. Такая проверка помогает обнаружить и вычислительную ошибку, и неверно составленную модель.

Как условия реальной задачи отражаются в математической модели

Сначала определи, требует ли условие точного равенства или задаёт границу допустимых значений. Затем выбери нужный тип записи и проверь, что решение подходит всем строкам условия. В реальной задаче могут одновременно понадобиться и уравнения, и неравенства.

Разбор задач

Билеты

Взрослый билет стоит 500 рублей, детский — 300 рублей. За 8 билетов заплатили 3400 рублей. Найдём, сколько купили билетов каждого вида.

1. Обозначим через x число взрослых билетов, через y — число детских. Количество билетов выражается суммой x + y, а стоимость — суммой 500x + 300y. Так мы переводим два разных условия в две записи.

2. Составим систему: x + y = 8, 500x + 300y = 3400. Из первого уравнения y = 8 − x. Подставим во второе: 500x + 300(8 − x) = 3400, откуда 200x = 1000 и x = 5.

3. Тогда y = 3. Проверим: 5 + 3 = 8, а 5 · 500 + 3 · 300 = 3400. Оба количества целые и неотрицательные, значит, подходят условию.

Ответ: купили 5 взрослых и 3 детских билета.

Встреча велосипедистов

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 54 км. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого, а встреча произошла через 2 часа. Найдём скорости.

1. Пусть x км/ч — скорость более медленного велосипедиста, тогда скорость второго равна x + 3 км/ч. За 2 часа они проедут соответственно 2x и 2(x + 3) километров. Складывать расстояния нужно потому, что велосипедисты движутся навстречу друг другу.

2. Запишем систему: y = x + 3 и 2x + 2y = 54, где y — скорость второго. Подставим первое равенство во второе: 2x + 2(x + 3) = 54. Получаем 4x + 6 = 54, значит, x = 12, а y = 15.

3. Проверим разность скоростей: 15 − 12 = 3 км/ч. За два часа велосипедисты вместе проедут 24 + 30 = 54 км, а обе скорости положительны.

Ответ: скорости велосипедистов — 12 км/ч и 15 км/ч.

Изделия и запасы материалов

На изделие первого вида расходуют 2 кг материала A и 1 кг материала B, на изделие второго — 1 кг A и 3 кг B. В запасе 20 кг A и 24 кг B. Нужно использовать весь материал A; найдём возможные количества изделий.

1. Обозначим через x и y количества изделий первого и второго вида. Для материала A требуется 2x + y килограммов, и весь запас должен быть использован, поэтому 2x + y = 20. Для материала B расход x + 3y не должен превышать 24, а количества изделий неотрицательны: x ≥ 0, y ≥ 0.

2. Из равенства получаем y = 20 − 2x. Подставим в ограничение по материалу B: x + 3(20 − 2x) ≤ 24, откуда x ≥ 8. Условие y ≥ 0 даёт x ≤ 10, а x ≥ 0 выполняется при этих значениях.

3. Если изделия считают целыми штуками, подходят x = 8, 9 или 10. Для них y равен соответственно 4, 2 или 0; во всех случаях расход B не больше 24 кг. Например, при x = 8 расход B составляет 20 кг, при x = 9 — 15 кг, при x = 10 — 10 кг.

Ответ: возможны пары (x; y): (8; 4), (9; 2) и (10; 0).

Типичные ошибки

Не объяснить, что обозначают переменные. Тогда можно перепутать величины, например принять количество детских билетов за число взрослых. Такую ошибку допускают, когда сразу начинают писать формулы по тексту; проверка — подписать смысл и единицы каждой буквы до составления системы.

Записать только одно условие из нескольких. Найденные значения могут удовлетворять, например, общему числу предметов, но не общей стоимости. Это происходит, если в условии ищут одну знакомую связь и не проверяют остальные; составь список условий и сверь с ним каждое уравнение системы.

Перепутать равенство и ограничение. Фраза «не больше 24 кг» означает расход ≤ 24, а не равенство 24 и не расход ≥ 24. Часто это случается, когда слова условия переводят в знак наугад; после записи прочитай неравенство вслух и проверь, передаёт ли оно смысл фразы.

Принять любое решение системы за ответ. Значение может быть отрицательным, дробным там, где считают предметы, или не подходить по единицам. Ошибка возникает, если остановиться на вычислениях; подставь решение в условия, проверь допустимость величин и только затем формулируй ответ.

Связь с другими темами

Для построения моделей нужно уметь составлять и решать системы линейных уравнений и неравенств, преобразовывать выражения и проверять решения подстановкой. Эти навыки помогают перейти от текста задачи к вычислениям, не теряя смысл величин. Моделирование используют в задачах на движение, покупки, смеси и распределение ресурсов. Позже такой подход пригодится в оптимизационных задачах, где требуется выбрать наилучший вариант с учётом ограничений.

Что запомнить

• Каждая переменная должна иметь ясный смысл.
• Каждое условие задачи переводят в отдельное уравнение или неравенство.
• Условия системы должны выполняться одновременно.
• Уравнение передаёт точную связь, неравенство — ограничение.
• Решение модели необходимо проверить по исходному условию.
• Ответ задачи формулируют с учётом смысла и единиц измерения величин.