"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Нелинейную систему уравнений не всегда удобно решать обычной подстановкой. Если в ней повторяются выражения, их можно обозначить новыми переменными, а если уравнения симметричны относительно x и y — использовать сумму и произведение этих чисел. Сложение, вычитание и разложение на множители помогают упростить систему и выделить возможные случаи. После преобразований нужно вернуться к исходным переменным и проверить каждую найденную пару.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Замена переменных — введение новых переменных вместо повторяющихся выражений, чтобы упростить систему. Например, если в нескольких местах встречается x + y, можно обозначить эту сумму буквой a. Так вместо громоздких выражений появляются короткие обозначения, с которыми легче выполнять преобразования.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Это значит, что каждая пара чисел, подходящая одной системе, подходит и другой, и наоборот. Такое свойство нужно сохранять при преобразованиях; если оно может нарушиться, найденные значения проверяют в исходной системе.
Симметрическая система — система, вид которой не меняется при перестановке переменных x и y. Например, в уравнении x² + y² = 13 переменные можно поменять местами, и равенство останется тем же. В таких задачах удобно искать не x и y по отдельности, а их сумму и произведение.
Способ сложения — приём, при котором уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить переменную либо получить разложение на множители. Например, одинаковые слагаемые при вычитании сокращаются. Этот приём помогает упростить даже нелинейную систему, но после преобразований необходимо учесть все полученные случаи.
Замена полезна, когда одни и те же сложные выражения повторяются в разных уравнениях. Если каждый раз раскрывать скобки или заново преобразовывать выражение, вычисления становятся длиннее и легче ошибиться. Обозначив повторяющуюся часть новой буквой, мы отделяем главный ход решения от громоздкой записи. Например, при наличии x + y и xy можно временно ввести a = x + y и b = xy.
После решения системы относительно новых величин нельзя сразу объявлять ответом найденные значения a и b. Нужно вспомнить, что именно они обозначали: например, a = x + y и b = xy. Затем решают получившиеся условия для x и y, учитывая, что значения могут быть невозможны или давать несколько пар. В конце пары подставляют в исходные уравнения, потому что именно они определяют задачу.
В симметрической системе перестановка x и y не меняет уравнений, поэтому часто важны не сами переменные по отдельности, а их общие характеристики. Сумма и произведение позволяют выразить через себя многие симметрические выражения: например, x² + y² = (x + y)² − 2xy. Если найдены сумма s и произведение p, исходные числа восстанавливают как корни уравнения t² − st + p = 0. Корни этого уравнения дают возможные значения x и y, причём обе перестановки нужно рассмотреть.
Сложение или вычитание уравнений выбирают так, чтобы одинаковые части сократились либо образовалось выражение, которое можно разложить на множители. Если получилось произведение A·B = 0, то хотя бы один множитель равен нулю: рассматривают случаи A = 0 и B = 0. Каждый случай превращается в отдельное условие для системы. Такой ход позволяет раскрыть несколько возможных решений, не потеряв их за одним преобразованием.
При преобразовании следят за ограничениями и за тем, сохраняются ли решения. Особенно осторожно действуют при делении: если делитель может быть нулём, этот случай сначала рассматривают отдельно, иначе часть решений исчезнет. Возведение в квадрат или переход к новым переменным тоже может привести к значениям, которые не подходят исходным уравнениям. Поэтому проверка в исходной системе завершает решение, а не заменяет вычисления.
| Приём | Когда удобно применять | Основная идея | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Замена переменных | Одни и те же выражения повторяются в уравнениях | Обозначить повторяющиеся части новыми буквами и упростить систему | Связь новых величин с x и y и возможность их восстановить |
| Использование симметрии | Перестановка x и y не меняет вид системы | Перейти к сумме x + y и произведению xy | Все пары исходных чисел, соответствующие найденным сумме и произведению |
| Сложение или вычитание уравнений | В уравнениях есть одинаковые или противоположные части | Сократить часть выражений или получить новое условие | Не потерялись ли решения при преобразовании |
| Разложение на множители | После преобразования возникает произведение, равное нулю | Приравнять к нулю каждый множитель и рассмотреть случаи | Каждый случай отдельно и его соответствие исходной системе |
Сначала ищи в системе повторяющиеся выражения и симметрию, затем выбирай подходящий приём. Таблица подсказывает, какой ход попробовать и где чаще всего возникают ограничения. Даже если преобразование выглядит простым, завершай решение проверкой исходных уравнений.
Решите систему: x + y = 5, xy = 6. По условиям известны сумма и произведение двух чисел. Поэтому удобно составить квадратное уравнение, корнями которого будут x и y.
Ответ: (2; 3), (3; 2).
Решите систему: x² + y² = 13, xy = 6. В первом уравнении есть сумма квадратов, а во втором дано произведение. Используем формулу x² + y² = (x + y)² − 2xy, чтобы найти сумму переменных.
Ответ: (2; 3), (3; 2), (−2; −3), (−3; −2).
Решите систему: x² + xy = 12, y² + xy = 18. Вычитание уравнений уберёт одинаковое слагаемое xy. Полученное разложение на множители подскажет два возможных случая, каждый из которых нужно проверить.
Ответ: (2√30/5; 3√30/5), (−2√30/5; −3√30/5).
После замены переменных иногда выписывают только значения новых букв и забывают, чему они равны через x и y. Так решение останавливается раньше времени: найденные величины ещё не являются ответом исходной системы. Чтобы проверить себя, сразу записывай рядом с заменой её связь с исходными переменными и после вычислений возвращайся к этой связи.
Другая ошибка — считать допустимой любую пару новых значений. Но, например, заданные сумма и произведение должны соответствовать корням определённого квадратного уравнения, а иногда такие корни не существуют. Ученик может пропустить этот шаг, потому что новые уравнения выглядят проще исходных. Реши условия для x и y и проверь, что полученные числа действительно дают нужные новые величины.
При делении уравнения на выражение с переменными можно потерять решение, если выражение равно нулю. Обычно на это не обращают внимания, потому что деление кажется обычным сокращением. Перед ним проверь, может ли делитель обратиться в ноль: сначала рассмотри этот случай отдельно, затем дели только при условии, что делитель не равен нулю.
Иногда записывают найденные сумму и произведение, но не восстанавливают сами переменные и не проверяют их. Это похоже на завершённый ответ, хотя исходная задача просит найти пары x и y. Составь квадратное уравнение с корнями x и y, найди его корни, учти перестановки и подставь каждую пару в оба исходных уравнения.
Для решения таких систем нужны навыки подстановки и сложения: они помогают связывать уравнения и исключать неизвестные. Также важно уметь преобразовывать выражения и раскладывать многочлены на множители, например использовать разность квадратов. Приёмы темы пригодятся в задачах на составление уравнений и в системах, которые можно свести к квадратному уравнению. Поэтому знакомые действия здесь применяются в сочетании, а не изолированно.
Как понять, что в системе удобно сделать замену переменных?
Посмотрите, повторяется ли в уравнениях одно и то же сложное выражение, например x + y или xy. Если обозначить его новой буквой, система может стать проще и похожей на знакомую линейную или квадратную.
Почему после замены нужно отдельно возвращаться к исходным переменным?
Новые переменные обозначают выражения через x и y, а не сами исходные неизвестные. Найденные значения новых переменных могут не соответствовать ни одной паре исходных чисел, поэтому нужно решить связь между ними.
Как использовать сумму и произведение переменных при решении системы?
Если известны x + y и xy, числа x и y можно считать корнями уравнения t² − (x + y)t + xy = 0. Его корни и дают возможные значения исходных переменных.
Можно ли делить одно уравнение системы на выражение с переменными?
Можно, только если заранее известно, что делитель не равен нулю. Если это не известно, сначала рассмотрите случай, когда выражение равно нулю, а затем отдельно решайте случай, когда оно не равно нулю.
Зачем проверять найденные пары в исходной системе?
При преобразованиях иногда появляются лишние значения или теряются решения, например при делении на выражение. Подстановка каждой пары в исходные уравнения показывает, действительно ли она является решением.
13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными
