"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Система уравнений с двумя переменными объединяет уравнения, которые должны одновременно выполняться для одной пары чисел. Решить систему — значит найти все такие пары и убедиться, что других нет. Для этого используют метод подстановки или метод сложения: в первом случае одну переменную заменяют выражением, во втором исключают её после равносильного умножения и сложения уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений с двумя переменными — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно для одной пары значений переменных. Обычно переменные обозначают буквами x и y, а уравнения объединяют фигурной скобкой. Это понятие нужно, чтобы искать не отдельные значения, а общую пару, подходящую сразу ко всем условиям.
Решение системы — пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Пару записывают в порядке переменных: например, (3; 4), где первое число относится к x, второе — к y. Проверка всех уравнений показывает, действительно ли найден ответ.
Метод подстановки — способ решения системы, при котором выражение для одной переменной подставляют в другое уравнение. Например, если y = 2x − 1, вместо y в другом уравнении пишут 2x − 1. Так система сводится к одному уравнению с одной переменной.
Метод сложения — способ решения системы, при котором уравнения предварительно преобразуют так, чтобы при сложении исключить одну из переменных. Противоположные слагаемые x и −x дают ноль, поэтому остаётся уравнение с одной переменной. После этого находят вторую переменную и получают пару.
Решить систему — значит найти все пары значений, удовлетворяющие каждому уравнению, и проверить, что других решений нет. Одно уравнение обычно задаёт множество подходящих пар, а совместное выполнение двух уравнений отбирает только общие пары. Поэтому найденное значение нельзя считать ответом, пока оно не связано со второй переменной и не проверено в исходной системе.
При методе подстановки сначала из одного уравнения выражают переменную через другую. Полученное выражение заменяет эту переменную во втором уравнении, потому что имеет с ней одинаковое значение. В результате две связанные переменные превращаются в одну неизвестную, а обычное уравнение решить проще.
После нахождения одной переменной её подставляют в одно из исходных уравнений, чтобы найти вторую. Такой шаг восстанавливает пару, ведь первое найденное число само по себе системой не является. Затем подстановкой в оба исходных уравнения проверяют, не появилась ли ошибка при преобразованиях или вычислениях.
Для метода сложения уравнения при необходимости умножают на ненулевые числа, чтобы коэффициенты одной переменной стали противоположными. При сложении равенства остаются верными, потому что каждое уравнение предварительно заменено равносильным. Противоположные коэффициенты дают нулевой коэффициент, и одна переменная исключается.
Если подходящих коэффициентов нет, выбирают множители по наименьшему общему кратному их модулей. Умножать нужно все части соответствующего уравнения, а не только один член. После сложения находят одну переменную, подставляют её в исходное уравнение для поиска второй и проверяют результат.
| Что сравниваем | Метод подстановки | Метод сложения и умножения |
|---|---|---|
| Какую переменную исключают | Ту, которую проще выразить | Ту, чьи коэффициенты проще сделать противоположными |
| Основное преобразование | Заменяют переменную выражением | Умножают уравнения и складывают их |
| Когда удобно применять | Коэффициент переменной равен 1 или −1, либо переменная уже выражена | Коэффициенты одинаковы, противоположны или легко приводятся к ним |
| Как находят вторую переменную | Подставляют найденное значение в исходное уравнение | Подставляют найденное значение в исходное уравнение |
| Что проверяют в конце | Подстановкой проверяют пару в обоих исходных уравнениях | |
Сначала посмотрите на коэффициенты и форму уравнений, а затем выберите способ с меньшим количеством действий. Если переменная уже выражена, обычно быстрее применить подстановку. Если при сложении легко получить нулевой коэффициент, удобнее использовать метод сложения.
Условие: решить систему x + y = 7, y = 2. Здесь одна переменная уже известна, поэтому подстановка требует всего одного основного вычисления.
Ответ: (5; 2).
Условие: решить систему x + y = 8, x − y = 2. Коэффициенты при y противоположны, поэтому при сложении эта переменная исчезнет.
Ответ: (5; 3).
Условие: решить систему 2x + 3y = 13, 3x − 2y = 0. Ни при x, ни при y коэффициенты не противоположны, поэтому сначала подготовим уравнения умножением.
Ответ: (2; 3).
Ошибка: считать решением пару, подходящую только одному уравнению. Так бывает, если ученик прекращает проверку сразу после первого верного равенства. Подставьте пару во все уравнения системы и принимайте её только при полном совпадении.
Ошибка: потерять скобки или изменить знак при подстановке. Это часто происходит, когда вместо y подставляют выражение, перед которым стоит минус. Записывайте замену целиком в скобках, а затем раскрывайте их по правилам.
Ошибка: сложить отдельные удобные члены или умножить только один член уравнения. Причина — стремление быстрее получить противоположные коэффициенты. Умножайте обе части уравнения на ненулевой множитель, а при сложении объединяйте левые и правые части целиком.
Ошибка: умножить уравнение на ноль или неверно найти вторую переменную. Нулевой множитель уничтожает информацию, а спешка после исключения первой переменной приводит к неверной паре. Используйте только ненулевые числа и завершайте решение проверкой в исходной системе.
До этой темы нужно уметь преобразовывать линейные уравнения, переносить слагаемые, раскрывать скобки и выражать одну переменную через другую. Эти навыки помогают не путать знаки и выполнять равносильные преобразования системы.
Методы подстановки и сложения применяются в текстовых задачах, где неизвестные связаны двумя условиями. Они также служат основой для решения систем нелинейных уравнений, когда после преобразования одно из уравнений позволяет выразить переменную или свести задачу к более простому уравнению.
Как понять, какой метод решения системы выбрать?
Метод подстановки удобен, если одну переменную уже выразили или это легко сделать: например, x = 3 или y = 2x − 1. Метод сложения выбирают, когда коэффициенты при одной переменной уже противоположны либо их легко сделать такими умножением.
Почему при подстановке важно ставить выражение в скобки?
Скобки показывают, что вместо переменной подставляется всё выражение целиком. Особенно это нужно, если перед переменной стоит минус: −y при подстановке y = 2x − 3 превращается в −(2x − 3), а не в −2x − 3.
Можно ли умножить уравнение системы на любое число?
Уравнение можно умножить на любое ненулевое число, умножив на него обе части. Умножение на ноль стирает исходную информацию и не даёт равносильного уравнения.
Что делать, если коэффициенты при переменной не противоположны?
Подберите ненулевые множители для уравнений так, чтобы после умножения коэффициенты при одной переменной стали противоположными. Затем сложите полученные уравнения и найдите оставшуюся переменную.
Как проверить, что найденная пара является решением системы?
Подставьте оба найденных значения в первое, а затем во второе исходное уравнение. Если в обоих случаях получились верные равенства, пара является решением системы.
12. Решения систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения
