16. Системы неравенств с двумя переменными

Определения и обозначения

Неравенство с двумя переменными — неравенство, в котором участвуют две переменные, например x и y. Оно задаёт условие для их значений, а не для каждого значения по отдельности. Чтобы проверить условие, нужно подставить вместо обеих переменных числа.

Решение неравенства — упорядоченная пара чисел, при подстановке которой неравенство становится верным. Порядок важен: первая координата соответствует x, вторая — y. Такое определение позволяет однозначно проверить, подходит ли конкретная точка.

Множество решений — все пары чисел, являющиеся решениями неравенства или системы. На координатной плоскости каждой паре соответствует точка, поэтому множество можно изобразить областью. Это помогает увидеть не только отдельные ответы, но и все подходящие пары сразу.

Система неравенств с двумя переменными — несколько неравенств, которые должны одновременно выполняться для одной пары значений переменных. Её решением называют пару чисел, подходящую каждому неравенству системы. Графическое решение системы — область, состоящая из точек, удовлетворяющих всем условиям одновременно; она показывает общую часть решений.

Как это устроено

В неравенстве с двумя переменными проверяют не одно число, а пару значений: одно для x и одно для y. Например, запись (2; 5) означает x = 2 и y = 5, и эти значения подставляют именно в соответствующие места. Одного значения недостаточно, потому что оно не задаёт вторую переменную и не позволяет проверить всё условие. На плоскости такая пара становится точкой с координатами (2; 5).

Точка подходит неравенству тогда, когда её координаты после подстановки превращают его в верное утверждение. Поэтому можно мысленно проверять каждую точку плоскости: её координаты образуют пару чисел. Например, для y > x + 1 точка (0; 2) подходит, поскольку 2 > 1, а точка (0; 1) не подходит, поскольку получается равенство. Все подходящие точки вместе образуют область решений.

Чтобы понять, где эта область заканчивается, сначала рассматривают равенство, полученное заменой знака неравенства на знак равенства. Для y > x + 1 это прямая y = x + 1, и она служит границей между точками, где условие верно, и теми, где оно неверно. Равенство выполняется на самой прямой, поэтому при строгих знаках < и > граничные точки не подходят. При нестрогих знаках ≤ и ≥ равенство допустимо, значит, границу включают в решение.

Одна прямая делит плоскость на две полуплоскости — две стороны, на которые она разделяет плоскость. Чтобы выбрать нужную сторону, проверяют любую пробную точку, не лежащую на прямой: если её координаты удовлетворяют неравенству, выбирают сторону с этой точкой. Если условие для неё неверно, нужна противоположная сторона. Такой способ надёжнее, чем пытаться определить направление по одному виду знака.

У системы каждое неравенство задаёт собственную область решений. Пара подходит системе только тогда, когда одновременно принадлежит каждой из этих областей. Поэтому ответом является не объединение областей, где выполняется хотя бы одно условие, а их общая часть, то есть пересечение. Если у областей нет общих точек, система решений не имеет.

Графическое решение неравенств и их систем

Сначала постройте границу, затем определите, включена ли она, и только после этого выберите нужную сторону. Для системы повторите эти действия для каждого условия и выделите область, общую для всех. Так таблица помогает не перепутать границу, полуплоскость и итоговое решение.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить множество решений неравенства y > x + 1.

Нужно найти все точки, координаты которых удовлетворяют условию. Сначала определим линию, разделяющую подходящие и неподходящие точки, а затем выберем нужную сторону. Знак строгий, поэтому точки самой границы в ответ не попадут.

1. Заменим знак > на = и получим границу y = x + 1. Для построения достаточно взять, например, точки (0; 1) и (1; 2), лежащие на прямой. Проведём через них пунктирную линию, так как равенство не допускается.

2. Возьмём пробную точку (0; 0), которая не лежит на прямой. Подстановка даёт 0 > 1 — неверное утверждение, значит, сторона с этой точкой не подходит. Следовательно, выбираем противоположную полуплоскость.

3. Проверим направление на другой точке, например (0; 2): получаем 2 > 1, условие верно. Значит, искомая область находится со стороны, где лежит (0; 2), а пунктирная прямая в неё не входит. Такая дополнительная проверка помогает убедиться, что выбрана верная сторона.

Ответ: полуплоскость выше прямой y = x + 1, без самой прямой.

Задача 2. Изобразить множество решений системы y ≥ 0, y ≤ 4 − x.

Для ответа нужно одновременно выполнить два условия: быть не ниже оси x и не выше прямой y = 4 − x. Каждое неравенство задаёт свою полуплоскость, а система оставляет только их общие точки. Оба знака нестрогие, поэтому обе границы включаются.

1. Для первого неравенства граница получается из равенства y = 0, то есть это ось x. Условие y ≥ 0 выполняется на оси и выше неё. Границу изображаем сплошной линией, поскольку равенство разрешено.

2. Для второго условия строим прямую y = 4 − x. Например, она проходит через (0; 4) и (4; 0). Неравенство y ≤ 4 − x задаёт сторону на прямой и ниже неё; это можно проверить точкой (0; 0), для которой 0 ≤ 4 верно.

3. Оставим только точки, которые одновременно находятся на оси или выше неё и на прямой или ниже неё. Пересечение границ находится из равенств y = 0 и y = 4 − x, откуда x = 4, то есть точка (4; 0). Обе границы входят в ответ, как и их общая точка.

Ответ: общая часть полуплоскости y ≥ 0 и полуплоскости y ≤ 4 − x, включая обе граничные прямые.

Задача 3. Изобразить множество решений системы x² + y² ≤ 9, y > x.

Первое неравенство описывает круг с центром в начале координат, а второе — одну из сторон прямой y = x. Решением станет только та часть круга, которая лежит в подходящей полуплоскости. Нужно отдельно учесть, что окружность включена, а прямая исключена.

1. В равенстве x² + y² = 9 сумма квадратов координат равна квадрату расстояния от начала координат до точки. Значит, граница — окружность радиуса 3 с центром (0; 0). Знак ≤ включает как внутренность круга, так и саму окружность, поэтому границу изображаем сплошной.

2. Для неравенства y > x граница получается заменой знака на равенство: y = x. Проверим точку (0; 1): 1 > 0 — верно, значит, выбираем сторону прямой, где находится эта точка. Саму прямую чертим пунктиром, поскольку строгий знак не допускает равенства.

3. Найдём общую часть: оставим точки внутри круга или на его окружности, расположенные со стороны y > x. Точки на прямой y = x не включаем даже там, где она проходит внутри круга. Точки окружности, удовлетворяющие y > x, включаются в решение.

Ответ: часть круга x² + y² ≤ 9 со стороны y > x, без точек прямой y = x.

Типичные ошибки

При строгом неравенстве иногда включают граничную линию, потому что она кажется частью нарисованной области. Но на границе выполняется равенство, а знаки < и > его не допускают. Проверьте любую точку линии подстановкой: она не удовлетворит строгому условию.

Полуплоскость можно заштриховать наугад, ориентируясь только на положение знака. Это ненадёжно: для разных неравенств нужная сторона может располагаться по-разному. Подставьте координаты точки, не лежащей на границе, и выберите сторону по результату проверки.

Иногда области решений системы объединяют, оставляя точки, которые удовлетворяют хотя бы одному условию. Так решают задачу с логикой «или», но в системе неравенства должны выполняться одновременно. Для самопроверки возьмите точку из ответа и подставьте её во все неравенства: каждое должно оказаться верным.

Ещё одна ошибка — не различать строгий и нестрогий знаки при изображении границы. Знаки ≤ и ≥ включают равенство, а < и > — нет; если перепутать, в ответ попадут лишние точки или будут потеряны подходящие. Сверьте знак в исходном условии с видом границы: сплошная для включённой, пунктирная для исключённой.

Связь с другими темами

Для графического решения полезно уметь строить прямые и графики простейших уравнений с двумя переменными. Также нужно уверенно читать координаты точки: первая координата задаёт x, вторая — y. Эти навыки позволяют построить границу и проверять пары подстановкой.

Тема опирается на понятие решения неравенства и работу с координатной плоскостью. Подстановка связывает алгебраическую запись с конкретной точкой, а график показывает множество таких точек. Поэтому вычисление и изображение здесь дополняют друг друга.

Графический способ пригодится при изучении систем уравнений и неравенств, где важно учитывать несколько условий сразу. Он также помогает решать задачи с ограничениями переменных: на чертеже удобно видеть, какие пары значений допустимы. Например, можно сразу заметить, есть ли у условий общие решения.

Что запомнить

• Решение неравенства с двумя переменными — пара чисел.
• Граница области решений получается из уравнения, соответствующего неравенству.
• При строгом неравенстве граница не входит в решение.
• При нестрогом неравенстве граница входит в решение.
• Для выбора полуплоскости проверяют пробную точку.
• Решение системы — пересечение областей решений всех её неравенств.