"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Доказательство неравенства показывает, почему одно выражение при заданных условиях всегда не меньше или не больше другого. Для этого сравнивают выражения через их разность, оценивают их сверху или снизу либо рассуждают от противного. Выбор способа зависит от вида выражений и условий задачи. В любом доказательстве нужно обосновать каждый переход, учитывать знак множителей и отдельно проверить, когда достигается равенство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Доказательство неравенства — последовательное обоснование того, что одно выражение при заданных условиях не меньше или не больше другого. Например, запись A ≥ B означает, что разность A − B неотрицательна. Доказательство нужно, чтобы подтвердить сравнение не для отдельных примеров, а для всех допустимых значений переменных.
Метод разности — способ доказать A ≥ B, установив, что A − B ≥ 0. Для этого обычно вычитают B из A и преобразуют результат. Метод помогает свести сравнение двух выражений к исследованию знака одного выражения.
Метод оценки — способ доказать неравенство, сравнивая выражения с подходящими известными величинами. Например, можно показать, что одно выражение не меньше некоторой границы, а эта граница уже не меньше нужного результата. Такой подход нужен, когда прямое преобразование разности получается неудобным.
Метод от противного — способ доказательства, при котором предполагают, что утверждение неверно, и выводят противоречие. Противоположное предположение должно точно отрицать доказываемое утверждение. Метод полезен, когда из неверного варианта легко получить невозможный результат.
Чтобы сравнить выражения A и B, можно перенести их в одну сторону и рассмотреть разность A − B. Если она неотрицательна при всех допустимых значениях переменных, то A ≥ B, потому что к сравнению A − B ≥ 0 можно прибавить B. Если требуется доказать A ≤ B, проверяют неотрицательность B − A. Так вместо двух выражений исследуют знак одного.
Разность часто преобразуют к сумме квадратов или произведению выражений, знаки которых известны. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому представление разности в виде квадрата сразу помогает обосновать нужный знак. Но преобразования не должны нарушать условия задачи: например, сокращать на переменную можно только после проверки, что она не равна нулю. Если возводят обе части в квадрат, также нужно учитывать их знаки.
При методе оценки выражение заменяют величиной, граница которой уже известна или проще доказывается. Направление оценки имеет значение: чтобы доказать, что выражение не меньше 2, недостаточно найти для него верхнюю границу. Нужно получить нижнюю границу, которая сама не меньше 2, либо выстроить другую цепочку сравнений. Поэтому перед оценкой полезно записать, какое именно следствие должно получиться.
Если прямой ход не приводит к цели, можно предположить противоположное утверждение. Например, вместо A ≥ B принимают A < B и проверяют, к чему это приводит вместе с условиями задачи. Противоречием будет результат, который не может быть верным одновременно с исходными условиями, например утверждение, что положительное число меньше нуля. Без такого явного столкновения с известным фактом доказательство от противного не завершено.
Выбор метода зависит от формы выражений и условий задачи. Если разность легко разложить на множители или представить квадратом, удобно начать с метода разности. Если у выражений видны простые границы, может оказаться короче метод оценки. От противного выбирают, когда предположение о неверности неравенства приводит к более простому рассуждению.
| Метод | Основной ход | Что нужно обосновать | Когда удобно применять |
|---|---|---|---|
| Метод разности | Рассмотреть A − B для доказательства A ≥ B. | Разность неотрицательна при допустимых значениях. | Разность можно преобразовать к квадрату или произведению с известным знаком. |
| Метод оценки | Сравнить выражение с подходящей известной границей. | Направление оценки ведёт к требуемому неравенству. | У выражений есть очевидные или простые для доказательства границы. |
| Метод от противного | Предположить, что утверждение неверно, и вывести следствие. | Полученное следствие противоречит условию или известному факту. | Противоположное предположение легче приводит к невозможному результату. |
Сначала определите, что именно требуется доказать, и проверьте условия на переменные. Затем выберите столбец «Основной ход» и используйте его как план рассуждения. Столбец «Что нужно обосновать» помогает убедиться, что доказательство действительно завершено.
Задача 1. Докажите, что x² − 2x + 1 ≥ 0 при любом действительном x. Здесь нет дополнительных ограничений на x, поэтому нужно найти преобразование, верное для всех действительных чисел. Выражение похоже на квадрат разности: в нём есть квадрат x и удвоенное произведение x и 1.
Ответ: неравенство верно при всех действительных x; равенство достигается при x = 1. Квадрат оказался удобной формой разности, потому что его знак известен без дополнительных условий. Проверка равенства показывает, когда утверждение становится точным сравнением.
Задача 2. Докажите, что x² + 1 ≥ 2x при любом действительном x. Нужно сравнить левую и правую части, поэтому применим метод разности. Так станет ясно, достаточно ли известного свойства квадрата.
Ответ: x² + 1 ≥ 2x для любого действительного x, равенство при x = 1. Этот пример показывает, что после вычитания частей может возникнуть знакомая формула квадрата двучлена. Неравенство следует именно из неотрицательности разности, а не из одного факта преобразования.
Задача 3. Докажите, что при положительных a и b выполняется a/b + b/a ≥ 2. Условие a, b > 0 гарантирует, что знаменатели не равны нулю и произведение ab положительно. Используем метод разности и приведём выражения к общему знаменателю.
Ответ: неравенство верно при a, b > 0; равенство достигается при a = b. Условие о положительности здесь существенно: оно позволяет определить знак знаменателя. Если бы знак знаменателя был неизвестен, вывод о знаке всей дроби требовал бы отдельного разбора.
Преобразуют выражение, но не поясняют, почему полученный результат неотрицателен. Обычно считают, что узнаваемой формы достаточно, однако запись квадрата ещё нужно связать с его свойством: квадрат действительного числа не меньше нуля. Проверьте доказательство вопросом: указано ли, откуда следует знак выражения?
Умножают или делят обе части на выражение с переменной, не зная его знака. Это опасно, потому что при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется, а при нуле деление невозможно. Перед таким действием установите знак множителя или разберите случаи; затем проверьте, учтены ли все допустимые значения.
При извлечении квадратного корня забывают, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, или неверно работают со знаком модуля. Например, из x² нельзя во всех случаях получить x: верно √(x²) = |x|. Чтобы проверить себя, укажите область допустимых значений и вспомните, что модуль отрицательного числа положителен.
В доказательстве от противного не формулируют противоположное утверждение или не называют противоречие. Тогда рассуждение может оказаться просто набором преобразований, не связанным с исходной целью. Запишите, что именно предполагаете, а в конце укажите конкретный факт, с которым полученный вывод несовместим.
Для доказательства неравенств нужны свойства числовых неравенств: они объясняют, какие действия сохраняют сравнение и когда меняется его знак. Также понадобятся правила преобразования выражений и формулы сокращённого умножения, например представление трёхчлена как квадрата двучлена. Без этих знаний трудно выбрать верный ход и обосновать его.
Методы применяются не только при сравнении двух выражений. С их помощью находят условия, при которых достигается равенство, и доказывают свойства функций, например границы их значений. Это позволяет использовать знакомые приёмы в задачах, где требуется исследовать поведение выражения при разных значениях переменных.
Как понять, что для доказательства лучше использовать разность?
Вычтите одну часть из другой и посмотрите, можно ли просто преобразовать результат, например, в квадрат или произведение с понятным знаком. Если сразу видно, что разность неотрицательна при всех допустимых значениях, удобен метод разности.
Почему достаточно доказать, что разность двух выражений неотрицательна?
Если A − B ≥ 0, то к обеим частям этого сравнения можно прибавить B. Получится A ≥ B, то есть исходное неравенство.
Можно ли умножать обе части неравенства на выражение с переменной?
Можно, если знак этого выражения известен: при положительном знак неравенства сохраняется, при отрицательном меняется на противоположный. Если знак неизвестен, нужно разобрать случаи или выбрать другой способ.
Чем метод оценки отличается от метода разности?
Метод разности сводит сравнение к проверке знака A − B. При методе оценки выражение сравнивают с известной или более простой границей, из которой должно следовать нужное неравенство.
Как правильно сформулировать противоположное утверждение в методе от противного?
Нужно точно изменить знак исходного утверждения: например, вместо A ≥ B предположить A < B. Затем из этого предположения вывести следствие, несовместимое с условием задачи или известным фактом.
17. Основные методы доказательства неравенств
