"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Средние величины помогают заменить несколько чисел одним и сравнить их по разным правилам. Для неотрицательных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, а среднее квадратичное не меньше среднего арифметического. Неравенство Коши — Буняковского связывает сумму произведений двух наборов чисел с суммами их квадратов. Эти результаты используют, чтобы оценивать выражения, доказывать неравенства и находить возможные границы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Среднее арифметическое двух чисел a и b — это их сумма, делённая на 2: (a + b)/2. Например, если общую сумму a + b распределить поровну между двумя величинами, каждая получит именно столько. Поэтому среднее арифметическое удобно для описания равного распределения.
Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел a и b обозначают √(ab). Числа должны быть неотрицательными, чтобы их произведение не было отрицательным и квадратный корень существовал среди действительных чисел. Это среднее помогает сравнивать числа, когда важны их произведение и пропорции.
Среднее квадратичное чисел a и b — квадратный корень из среднего арифметического их квадратов: √((a² + b²)/2). Сначала каждое число возводят в квадрат, затем находят среднее, а после извлекают корень. Такое среднее используют, когда нужно учитывать величины отклонений независимо от их знака.
Неравенство Коши — Буняковского связывает произведения чисел из двух наборов с суммами квадратов этих чисел. Для двух пар оно записывается так: (ax + by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²). Оно позволяет оценить сумму произведений, даже если среди чисел есть отрицательные.
Чтобы сравнить среднее арифметическое и геометрическое, достаточно использовать неотрицательность квадрата. Так как a и b неотрицательны, существуют √a и √b, а выражение (√a − √b)² тоже неотрицательно. После раскрытия скобок получаем a + b ≥ 2√(ab), а деление на 2 даёт (a + b)/2 ≥ √(ab). Равенство возможно, когда квадрат равен нулю, то есть √a = √b и a = b.
Для сравнения среднего квадратичного со средним арифметическим сначала сравним их квадраты. Разность квадратов этих величин равна (a² + b²)/2 − ((a + b)/2)² = (a − b)²/4, а она неотрицательна. Значит, среднее квадратичное не меньше модуля среднего арифметического, поскольку оба сравниваемых значения неотрицательны. Поэтому оно не меньше и самого среднего арифметического; равенство исходных средних получается при a = b и a + b ≥ 0.
Для двух пар чисел рассмотрим выражение (a² + b²)(x² + y²) − (ax + by)². После раскрытия скобок и приведения подобных членов оно становится равным (ay − bx)². Квадрат неотрицателен, поэтому (ax + by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²). Такой вывод объясняет, почему ограничений на знаки a, b, x и y здесь нет.
Равенство в доказанных неравенствах наступает, когда использованный неотрицательный квадрат равен нулю. Для средних это означает равенство чисел, но у сравнения среднего квадратичного с арифметическим нужно также учесть знак: a = b и a ≥ 0. В неравенстве Коши — Буняковского условие ay − bx = 0 означает пропорциональность пар (a, b) и (x, y); равенство также есть, если одна из пар нулевая. Условие равенства важно проверять, если требуется найти точную границу выражения.
Выбирая неравенство, сначала проверь знаки чисел: для среднего геометрического нужны неотрицательные аргументы, а Коши — Буняковский применим к любым действительным. Затем выдели структуру выражения: средние подходят для суммы и произведения двух чисел, а Коши — Буняковский — для суммы произведений и сумм квадратов. Наконец, проверь условие равенства: если подходящие значения допустимы, граница может достигаться, а если нет — она остаётся оценкой.
В таблице собраны обозначения, формулы и условия сравнения средних. В строке сравнения указано, какое среднее не меньше другого; для среднего квадратичного сравнение со средним арифметическим верно и для отрицательных a и b. Условия равенства помогают понять, достигается ли граница в конкретной задаче.
| Свойство | Среднее арифметическое | Среднее геометрическое | Среднее квадратичное |
|---|---|---|---|
| Обозначение для a и b | A | G | Q |
| Формула | A = (a + b)/2 | G = √(ab) | Q = √((a² + b²)/2) |
| Условия применимости | a, b — действительные | a ≥ 0, b ≥ 0 | a, b — действительные |
| Сравнение с другими средними | A ≥ G для a, b ≥ 0; Q ≥ A | G ≤ A для a, b ≥ 0 | Q ≥ A для действительных a, b |
| Условие равенства средних | A = G при a = b ≥ 0; Q = A при a = b ≥ 0 | G = A при a = b | Q = A при a = b ≥ 0 |
Задача 1. Сравнить среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 8 и 18. Оба числа неотрицательны, поэтому применимо неравенство между этими средними. Чтобы не ограничиваться общей оценкой, найдём каждое среднее отдельно и сравним результаты.
Ответ: среднее арифметическое равно 13, среднее геометрическое равно 12; первое больше.
Задача 2. Доказать, что при x > 0 выражение x + 1/x не меньше 2, и указать, когда достигается равенство. Здесь оба числа x и 1/x положительны, а их произведение равно 1. Поэтому удобно применить неравенство между средним арифметическим и геометрическим.
Ответ: x + 1/x ≥ 2 при x > 0; равенство достигается при x = 1.
Задача 3. Доказать, что для любых действительных a, b, x, y выполняется (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)², и определить случай равенства. Знаки чисел могут быть любыми, поэтому неравенство между средним арифметическим и геометрическим здесь не подходит. Заметим, что разность левой и правой частей можно представить квадратом.
Ответ: неравенство верно для любых действительных чисел; равенство выполняется при ay = bx.
Применение среднего геометрического к отрицательным числам. Ошибка возникает, когда формулу √(ab) используют, не проверив знак произведения или самих чисел. Для неравенства средних оба числа должны быть неотрицательными. Перед применением выпиши условия, а если они не соблюдены, выбери другой способ оценки.
Путаница между произведением и средним геометрическим. Иногда вместо √(ab) записывают ab или забывают извлечь корень. Тогда результат перестаёт быть средним геометрическим и сравнение может стать неверным. Проверь запись по определению: сначала перемножить числа, затем извлечь квадратный корень.
Неверно указан случай равенства. Из верного неравенства не следует, что равенство возможно при любых числах. Для арифметического и геометрического средних оно наступает при a = b; при сравнении квадратичного с арифметическим требуется также a ≥ 0. Подставь предполагаемые значения в обе части и проверь равенство.
Потерян квадрат или неверно понято равенство в неравенстве Коши — Буняковского. Запись без квадрата у суммы ax + by меняет утверждение. Кроме того, равенство не требует, чтобы соответствующие числа совпадали: достаточно пропорциональности пар. Для самопроверки представь разность частей как (ay − bx)² и найди, когда этот квадрат равен нулю.
Для доказательств нужны свойства квадратов и квадратных корней: квадрат неотрицателен, а равенство квадрата нулю означает, что его основание равно нулю. Также важно уметь сравнивать неотрицательные выражения, например после возведения в квадрат. Эти приёмы лежат в основе доказательств неравенств между средними.
Средние помогают оценивать выражения и доказывать неравенства, заменяя сложную часть более простой границей. Неравенство Коши — Буняковского применяют, когда выражение содержит суммы квадратов и произведений; оно встречается и в задачах на максимумы и минимумы. Проверка условий равенства показывает, достигается ли оценка.
Почему среднее геометрическое определено только для неотрицательных чисел?
В его формуле стоит квадратный корень из произведения чисел. Для неотрицательных a и b произведение ab неотрицательно, поэтому √(ab) существует среди действительных чисел. Если произведение отрицательно, действительного значения корня нет.
Когда среднее арифметическое равно среднему геометрическому?
Для неотрицательных a и b равенство (a + b)/2 = √(ab) выполняется тогда и только тогда, когда a = b. Это следует из равенства (√a − √b)² = 0.
Как выбрать, какое неравенство применить для оценки выражения?
Сначала проверьте знаки чисел: неравенство между средним арифметическим и геометрическим требует неотрицательных чисел. Если в выражении есть сумма квадратов и сумма попарных произведений, может подойти неравенство Коши — Буняковского. Затем проверьте условие равенства, чтобы понять, достижима ли найденная граница.
Как узнать, при каких значениях достигается равенство в неравенстве Коши — Буняковского?
Для двух пар чисел равенство выполняется, когда пары пропорциональны: (a, b) = t(x, y) для некоторого числа t. Это также верно, если одна из пар состоит из нулей. Проверить случай равенства можно, приравняв к нулю выражение (ay − bx)².
Можно ли применять неравенство Коши — Буняковского, если некоторые числа отрицательные?
Да. Неравенство Коши — Буняковского справедливо для любых действительных чисел, в том числе отрицательных. Ограничение на неотрицательность относится к неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим.
18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши – Буняковского
