§ 12. Однородные системы. Симметрические системы

Определения и обозначения

Однородная система — система уравнений, в которой свободные члены равны нулю. Поэтому все неизвестные, равные нулю, дают решение: каждый одночлен с такими неизвестными обращается в ноль. Нулевое решение полезно помнить, но в конкретной системе могут быть и другие решения.

Степень однородного уравнения — общая степень всех его одночленов. Например, в уравнении x² + 3xy + 2y² = 0 каждый одночлен имеет степень 2, значит, уравнение однородно второй степени. Чтобы проверить это, раскройте скобки и сравните степени слагаемых: нулевой свободный член без равенства степеней ещё не делает уравнение однородным.

Симметрическая система — система, которая не меняется при перестановке неизвестных. Если поменять x и y местами, её условия останутся теми же, поэтому подходящие пары обычно возникают вместе: (x, y) и (y, x). Это свойство помогает не искать решения вслепую, а использовать общие для пары величины.

Симметрические выражения сохраняют значение при перестановке переменных: например, x + y и xy. Их удобно обозначать S = x + y и P = xy, то есть суммой и произведением неизвестных. Эти обозначения позволяют заменить систему на условия для S и P, а затем найти сами неизвестные.

Как это устроено

В однородном уравнении все слагаемые имеют одну степень, поэтому при умножении каждой переменной на одно и то же число слагаемые изменяются одинаково. Благодаря этому, если нужная переменная не равна нулю, можно разделить уравнение на её степень и получить уравнение об отношениях переменных. Например, в уравнении второй степени деление на y² приводит к выражениям с x/y и числами. Такое преобразование уменьшает число независимых величин, но применимо только при y ≠ 0.

Отношение переменных можно обозначить новой буквой: например, x/y = t, или x = ty. Тогда однородное уравнение часто превращается в уравнение только с t, которое проще решить. Найдя t, получают связь между x и y, а затем используют второе уравнение системы, чтобы определить их значения. Подстановка отношения сама по себе не даёт исходную пару, поэтому восстановление переменных — обязательная часть решения.

Деление на переменную требует отдельной проверки нулевого случая, потому что при делении на ноль операция не определена. Если, например, делим на y, сначала решаем исходную систему при y = 0, а затем рассматриваем y ≠ 0 и делим. Так сохраняются все возможные решения, в том числе те, которые исчезли бы из преобразованного уравнения. В конце полезно подставить найденные пары в исходную систему.

Симметрия означает, что условия системы одинаково относятся к обеим переменным. Поэтому перестановка координат решения не нарушает уравнений: если подошло (x, y), то подходит и (y, x). Иногда эти пары совпадают, например при x = y, а иногда образуют два разных решения. Это свойство помогает проверить, не пропущен ли вариант, но не заменяет подстановку в исходную систему.

Для симметрической системы часто вводят S = x + y и P = xy, потому что многие выражения через x и y можно переписать через эти величины. После решения системы для S и P неизвестные восстанавливают как корни квадратного уравнения t² − St + P = 0. Если уравнение не имеет действительных корней, соответствующей действительной пары x и y нет. Если корни есть, составляют пары и проверяют каждую в исходной системе.

Приёмы решения однородных и симметрических систем

Сначала определите, к какому типу относится система, а затем выберите соответствующий приём. В однородном случае отдельно проверьте нулевые значения перед делением; в симметрическом — восстановите неизвестные из суммы и произведения. Таблица напоминает, что преобразование не завершает решение: найденные варианты нужно проверить.

Разбор задач

Задача 1. Решить систему x² + xy = 0, x + y = 3. В первом уравнении заметен общий множитель x, поэтому разложение на множители сразу выделит случаи, которые можно проверить отдельно. Второе уравнение задаёт сумму переменных и позволяет быстро проверить каждый случай.

1. Разложим первое уравнение: x² + xy = x(x + y) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, поэтому рассматриваем два случая.

2. При x = 0 из второго уравнения получаем y = 3, значит, имеем пару (0, 3). При x + y = 0 второе уравнение потребовало бы одновременно x + y = 3, что невозможно.

3. Остаётся только найденная пара; подстановка даёт 0² + 0 · 3 = 0 и 0 + 3 = 3. Ответ: (0, 3).

Задача 2. Решить систему x² + xy + y² = 7, x + y = 3. Здесь известна сумма, а выражение первой строки можно представить через сумму и произведение. Это позволит сначала найти xy, а затем восстановить сами числа.

1. Используем тождество x² + xy + y² = (x + y)² − xy. Подставляем x + y = 3: 9 − xy = 7, поэтому xy = 2.

2. Ищем числа с суммой 3 и произведением 2 как корни уравнения t² − 3t + 2 = 0. Оно раскладывается на множители (t − 1)(t − 2) = 0, значит, корни равны 1 и 2.

3. Получаем пары (1, 2) и (2, 1). Обе дают сумму 3 и выражение x² + xy + y² = 7. Ответ: (1, 2), (2, 1).

Задача 3. Решить систему x² + y² = 13, xy = 6. Известно произведение, но сумма не задана, поэтому сначала найдём её возможные значения. Квадрат суммы можно выразить через сумму квадратов и произведение.

1. По формуле (x + y)² = x² + 2xy + y² получаем (x + y)² = 13 + 12 = 25. Следовательно, сумма x + y может быть равна 5 или −5: квадрат не позволяет выбрать только один знак.

2. При сумме 5 составляем уравнение t² − 5t + 6 = 0; его корни 2 и 3. При сумме −5 получаем t² + 5t + 6 = 0, корни которого −2 и −3.

3. В каждом случае составляем обе переставленные пары. Проверка показывает, что у всех них сумма квадратов равна 13, а произведение равно 6. Ответ: (2, 3), (3, 2), (−2, −3), (−3, −2).

Типичные ошибки

• Ошибка — считать уравнение однородным только из-за отсутствия свободного члена. Так думают, потому что проверяют лишь наличие постоянного слагаемого, но забывают сравнить степени одночленов. Раскройте скобки и проверьте степень каждого слагаемого: она должна быть одинаковой.

• Ошибка — делить на неизвестную, не рассмотрев её нулевое значение. При делении это значение исключается, поэтому решение может потеряться; чаще всего забывают о нём, стремясь быстрее упростить уравнение. До деления подставьте переменную, равную нулю, в исходную систему и решите получившийся случай.

• Ошибка — после замены отношения переменных остановиться на найденном значении новой буквы. Оно задаёт связь между неизвестными, но не обязательно определяет сами числа, и полученные варианты могут не подойти второму уравнению. Восстановите исходные переменные, найдите все пары и подставьте их в систему.

• Ошибка — найти сумму и произведение и считать задачу решённой. Не всякая пара чисел S и P соответствует действительным корням, а восстановленные корни могут нарушить дополнительные условия исходной системы. Решите уравнение t² − St + P = 0, проверьте существование действительных корней и подставьте полученные пары в исходные уравнения.

Связь с другими темами

Для решения этих систем понадобятся разложение многочленов на множители, формулы сокращённого умножения и решение квадратных уравнений. Однородные уравнения связаны с отношениями переменных и заменой переменной: такой приём помогает упрощать уравнения и системы более высокой степени. Симметрические системы опираются на выражения через сумму и произведение и подготавливают к формулам Виета. Позже эти идеи помогут работать с корнями уравнений, даже когда сами корни заранее неизвестны.

Что запомнить

• Однородное уравнение состоит из одночленов одной степени.
• Нулевой набор переменных всегда удовлетворяет однородной системе.
• Перед делением на переменную проверь случай, когда она равна нулю.
• В симметрической системе вместе с парой (x, y) решением является и переставленная пара (y, x).
• Для симметрической системы часто удобно использовать сумму и произведение неизвестных.
• Найденные значения суммы и произведения нужно преобразовать в исходные пары и проверить.