§ 13. Иррациональные системы. Системы с модулями

Определения и обозначения

Иррациональная система — система уравнений, в которой неизвестная входит под знаком корня. Например, в уравнении √(x + y) = 3 неизвестные находятся под квадратным корнем. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому для этого уравнения требуется x + y ≥ 0. Это условие помогает сразу исключить значения, при которых исходная система не имеет смысла.

Система с модулями — система, содержащая выражения с модулем неизвестного или выражения от неизвестных. Модуль числа равен самому числу, если оно неотрицательно, и числу с противоположным знаком, если оно отрицательно: |A| = A при A ≥ 0, а |A| = −A при A < 0. Поэтому перед раскрытием модуля нужно узнать знак выражения внутри него. Разбор знаков позволяет заменить систему с модулями обычными уравнениями в отдельных случаях.

Область допустимых значений системы — набор значений неизвестных, при которых все выражения системы имеют смысл. Например, в системе с √x необходимо x ≥ 0, а с √(x − y) — x − y ≥ 0. Все ограничения рассматривают одновременно, поскольку пара должна подходить каждому уравнению. Нахождение области допустимых значений, или ОДЗ, помогает не включить в ответ точки, в которых исходную систему нельзя вычислить.

Как это устроено

При решении системы с корнями сначала находят область допустимых значений: каждое подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это нужно потому, что квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не определён. Условия ОДЗ могут ограничить неизвестные ещё до преобразований и упростить решение. Записывай все такие ограничения и учитывай их до конца.

Чтобы устранить корень, уравнение иногда преобразуют или возводят обе части в квадрат. Перед возведением нужно проверить, что обе части неотрицательны: без этого новый шаг может привести к уравнению, неравносильному исходному. Например, из равенства квадратов следует, что выражения равны или противоположны, а не обязательно равны. Поэтому возведение в квадрат удобно, но его последствия нужно контролировать.

После преобразований решают полученную систему, а затем подставляют найденные пары в исходные уравнения. Проверка нужна потому, что при возведении в квадрат могли появиться посторонние решения, а другие преобразования могли потребовать дополнительных условий. Подстановка одновременно проверяет корни, знаки и все уравнения системы. В окончательный ответ включают только пары, которые проходят эту проверку.

Систему с модулями решают, разбивая задачу на случаи по знакам выражений внутри модулей. В случае, где выражение неотрицательно, модуль заменяют самим выражением, а где оно отрицательно — выражением с противоположным знаком. Условия знаков обязательны: они показывают, для каких значений полученные уравнения равносильны исходным. Решения, не удовлетворяющие условиям своего случая, отбрасывают.

Иногда вместо перебора знаков удобно использовать геометрический смысл модуля как расстояния. Например, |x| — расстояние числа x от нуля на числовой прямой, а |x − y| — расстояние между числами x и y. Тогда уравнения системы задают множества точек, и решениями становятся их общие точки. Такой подход особенно полезен, когда геометрическая картина проще, чем несколько алгебраических случаев.

Приёмы решения систем с корнями и модулями

Сначала определи тип системы и выпиши ограничения, которые следуют из корней или знаков под модулями. Затем используй подходящий приём из таблицы, не теряя условий, при которых он работает. В конце проверь каждую пару в исходной системе.

Разбор задач

Задача 1. Решить систему: √(x + y) = 3, x − y = 1. Корень определён, если x + y ≥ 0. Первое уравнение сразу задаёт сумму неизвестных, а второе — их разность, поэтому получим линейную систему.

1. Возведём первое уравнение в квадрат: x + y = 9. Здесь обе части исходного равенства неотрицательны, поэтому квадратирование даёт равносильное условие.
2. Решим систему x + y = 9, x − y = 1. Складывая уравнения, получаем 2x = 10, значит, x = 5, а затем y = 4.
3. Проверим исходную систему: √(5 + 4) = 3 и 5 − 4 = 1. Оба равенства верны, а подкоренное выражение неотрицательно.

Ответ: (5; 4).

Задача 2. Решить систему: √x + √y = 5, x + y = 13. По корням сразу получаем ограничения x ≥ 0 и y ≥ 0. Удобно обозначить корни новыми буквами, чтобы первое уравнение стало линейным.

1. Пусть a = √x и b = √y, тогда a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = 5. Из второго уравнения системы следует a² + b² = 13.
2. Возведём равенство a + b = 5 в квадрат: a² + 2ab + b² = 25. Подставляя a² + b² = 13, получаем 2ab = 12, то есть ab = 6.
3. Числа a и b имеют сумму 5 и произведение 6, поэтому они равны 2 и 3 в любом порядке. Возвращаясь к заменам, получаем пары (x; y) = (4; 9) и (9; 4).
4. Проверим: в обеих парах сумма квадратных корней равна 5, а сумма x и y равна 13. Значения x и y неотрицательны, значит, ограничения соблюдены.

Ответ: (4; 9), (9; 4).

Задача 3. Решить систему: |x| + |y| = 4, |x − y| = 2. Рассмотрим знаки x и y. Если они одного знака, модули раскрываются по-разному в положительной и отрицательной четвертях; если знаки противоположны, первое выражение совпадает с |x − y|.

1. При x ≥ 0 и y ≥ 0 получаем x + y = 4 и |x − y| = 2. Значит, либо x − y = 2, либо x − y = −2; вместе с суммой это даёт (3; 1) и (1; 3).
2. При x ≤ 0 и y ≤ 0 положим u = −x, v = −y, где u, v ≥ 0. Тогда u + v = 4 и |u − v| = 2, поэтому (u; v) равны (3; 1) или (1; 3). Возвращаемся к x и y: получаем (−3; −1) и (−1; −3).
3. Если x и y имеют противоположные знаки, то |x| + |y| = |x − y|. Условия системы потребовали бы, чтобы одно и то же число было равно и 4, и 2, что невозможно.
4. Подстановка четырёх найденных пар даёт 4 в первом уравнении и 2 во втором. Они удовлетворяют исходной системе.

Ответ: (3; 1), (1; 3), (−3; −1), (−1; −3).

Типичные ошибки

• Возведение в квадрат без проверки знаков. Это делают, потому что квадрат кажется простым способом убрать корень, но он может потерять информацию о знаке и добавить решения. Перед шагом проверь неотрицательность обеих частей, а после него подставь ответ в исходное уравнение.
• Забытые ограничения на подкоренные выражения. Решая преобразованную систему, легко не заметить, что некоторые пары делают корень несуществующим. Выпиши ОДЗ до решения и проверь каждую найденную пару на соблюдение всех ограничений.
• Раскрытие модуля без разбора знака. Замена |A| на A верна лишь при A ≥ 0, а при A < 0 нужен знак минус. Для самопроверки укажи рядом с каждым случаем его условие и убедись, что найденное значение ему соответствует.
• Проверка только в преобразованной системе. Такая система может быть неравносильна исходной, особенно после возведения в квадрат. Подставь каждую пару в исходные уравнения и убедись, что выражения определены и все равенства выполняются.

Связь с другими темами

Для решения систем с корнями нужны навыки нахождения области определения выражений и решения линейных систем. Равносильные преобразования и проверка корней применяются и в уравнениях и системах более высокого порядка: они помогают отличать исходные решения от посторонних. Разбиение на случаи по знакам связано с методом интервалов. Этот приём пригодится при решении неравенств, содержащих модули.

Что запомнить

• Сначала определяй, при каких значениях система имеет смысл.
• Перед возведением обеих частей в квадрат проверь их неотрицательность.
• Возведение в квадрат может добавить посторонние решения.
• Модуль раскрывают с учётом знака выражения внутри него.
• В каждом случае для модулей проверяй условия, при которых этот случай выбран.
• Все найденные пары проверяй в исходной системе.