"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
При выборе нескольких элементов из набора результат может зависеть от порядка — или не зависеть от него. Если порядок важен, считают размещения; если важен только состав выбранной группы — сочетания. Для них используют формулы Aₙᵏ = n!/(n−k)! и Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!). Умение различать эти случаи помогает находить число вариантов без перечисления каждого из них и пригодится в задачах на вероятность и подсчёт.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение из n элементов по k — это упорядоченный выбор k различных элементов из имеющихся n. Порядок важен: например, варианты «А, затем Б» и «Б, затем А» различаются. Обозначение Aₙᵏ используют для числа таких размещений. Оно помогает кратко записывать количество вариантов, когда выбранным элементам отведены разные места или роли.
Число размещений Aₙᵏ показывает, сколькими способами можно выбрать и расположить k различных элементов из n. Его вычисляют по формуле Aₙᵏ = n!/(n−k)!. Здесь n! — факториал числа n, то есть произведение натуральных чисел от 1 до n. Формула пригодится, когда требуется сосчитать варианты с учётом порядка, не перечисляя их все.
Сочетание из n элементов по k — это выбор k различных элементов из n, при котором порядок не учитывается. Наборы «А, Б» и «Б, А» считаются одним и тем же выбором. Для обозначения числа сочетаний используют Cₙᵏ. Это понятие подходит, когда нужно определить состав группы, а её участники не занимают разных мест.
Число сочетаний Cₙᵏ — количество способов выбрать k элементов из n без учёта порядка. Формула имеет вид Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!). Множитель k! в знаменателе убирает повторный подсчёт одного набора в разных порядках. Поэтому формула позволяет перейти от упорядоченных вариантов к выбору группы.
При подсчёте размещений сначала выбирают элемент на первое место: это можно сделать n способами. Для второго места остаётся n−1 элемент, потому что повторять уже выбранный нельзя; затем остаётся n−2 и так далее. Всего нужно сделать k выборов, поэтому последним множителем будет n−k+1. По правилу умножения получаем Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1), а запись через факториалы равна n!/(n−k)!.
Чтобы из размещений получить сочетания, нужно убрать различия, возникающие только из-за порядка. У каждого набора из k элементов есть k! перестановок, и при подсчёте размещений все они посчитаны отдельно. В сочетании эти перестановки должны считаться одним вариантом, поэтому число размещений делят на k!. Получается формула Cₙᵏ = Aₙᵏ/k! = n!/(k!(n−k)!).
Представь, что из нескольких учеников выбирают старосту и заместителя или набирают команду из двух человек. Для должностей роли различаются: если поменять учеников местами, назначение станет другим, поэтому это размещение. У команды нет первого и второго участника, так что перестановка тех же людей не создаёт новый состав. Значит, выбор команды — сочетание.
Факториальная запись удобна, когда нужно сократить общие множители или быстро подставить значения n и k. Например, в дроби n!/(n−k)! все множители от 1 до n−k сокращаются, и остаются только n, n−1 и следующие числа до n−k+1. Развёрнутая запись n(n−1)…(n−k+1) наглядно показывает, сколько множителей нужно перемножить. Выбирай ту запись, с которой проще считать, но проверяй, что сокращаешь только одинаковые множители.
Если k = 1, выбирают один элемент, и порядок для него не имеет значения. Поэтому и размещений, и сочетаний в этом случае n: Aₙ¹ = Cₙ¹ = n. Если же выбирают все n элементов, набор для сочетания всегда один — все элементы сразу, так что Cₙⁿ = 1. Для размещений при выборе всех элементов порядок по-прежнему важен: их можно расположить n! способами.
В таблице рядом собраны признаки, которые помогают отличить два вида подсчёта. Сначала выясни, что именно выбирают и важен ли порядок, а затем выбери обозначение и формулу. При проверке связи помни: сочетания получаются из размещений делением на k!.
| Характеристика | Размещение из n по k | Сочетание из n по k |
|---|---|---|
| Что выбирают | k различных элементов и порядок их расположения | k различных элементов как группу |
| Учитывается ли порядок | Да | Нет |
| Обозначение числа | Aₙᵏ | Cₙᵏ |
| Формула | Aₙᵏ = n!/(n−k)! | Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!) |
| Как связаны между собой | Aₙᵏ = Cₙᵏ · k! | Cₙᵏ = Aₙᵏ/k! |
Задача 1. Из 8 учеников выбирают старосту и его заместителя. Нужно определить число способов назначения. Здесь выбранные ученики получают разные должности, поэтому перестановка двух назначенных людей изменит результат. Значит, считаем размещения из 8 элементов по 2.
На должность старосты можно выбрать любого из 8 учеников. После этого для заместителя остаётся 7 человек, так как одного ученика нельзя назначить на обе должности.
По правилу умножения получаем 8 · 7 = 56. Это также следует из формулы A₈² = 8!/(8−2)! = 8!/6! = 8 · 7.
Ответ: 56 способов.
Задача 2. Из 10 книг выбирают 3 для поездки. Перестановка книг в списке не меняет выбранный набор: важно, какие именно книги возьмут. Поэтому нужно найти число сочетаний C₁₀³.
Подставим n = 10 и k = 3 в формулу: C₁₀³ = 10!/(3! · 7!). Сократим 7! в числителе и знаменателе, чтобы не вычислять большие факториалы целиком.
Получаем C₁₀³ = (10 · 9 · 8)/(3 · 2 · 1) = 720/6 = 120. Деление на 3! нужно потому, что один и тот же набор книг при подсчёте размещений учитывался бы в шести порядках.
Ответ: 120 способов.
Задача 3. Из 12 участников выбирают 4 в команду, а затем одного из них назначают капитаном. Сначала можно выбрать состав команды, а потом капитана; другой способ — сразу учесть особую роль капитана. Оба подхода должны дать одинаковое число вариантов.
Сначала выберем команду: это можно сделать C₁₂⁴ способами. В каждой выбранной команде капитаном может стать любой из четырёх участников, поэтому число назначений равно C₁₂⁴ · 4.
Вычислим: C₁₂⁴ = 12!/(4! · 8!) = (12 · 11 · 10 · 9)/(4 · 3 · 2 · 1) = 495. Тогда 495 · 4 = 1980 вариантов.
Проверим другим способом: выберем капитана 12 способами, а остальных трёх членов команды — сочетаниями из оставшихся 11 участников. Получаем 12 · C₁₁³ = 12 · 165 = 1980, результат совпал.
Ответ: 1980 вариантов.
Выбор команды иногда считают размещением, потому что участников мысленно перечисляют по очереди. Но порядок перечисления не меняет состав команды, если у её участников нет разных ролей. Проверь себя: если поменять выбранных людей местами, но оставить их в той же группе, получился ли новый вариант? Если нет, нужны сочетания.
Назначения на разные должности, наоборот, ошибочно считают сочетанием, когда замечают только, кто выбран. При перестановке людей должности достанутся другим, и результат изменится. Для проверки назови роли вслух: если староста и заместитель поменялись, это уже другое назначение. Значит, порядок ролей учитывается и нужно размещение.
Ещё одна ошибка — забыть деление на k! в формуле сочетаний. Тогда каждый набор будет посчитан столько раз, сколько существует порядков его элементов. Чтобы проверить вычисление, сравни число сочетаний с Aₙᵏ/k!: сочетаний при k больше 1 не может быть больше размещений.
При подстановке можно перепутать n и k или взять k больше n. Число n обозначает весь исходный набор, а k — сколько элементов из него выбирают, поэтому k ≤ n. Перед вычислением запиши эти значения словами и проверь, что знаменатели факториальной формулы не содержат факториал отрицательного числа. Если выбрать больше элементов, чем есть, вариантов не существует.
Для подсчёта размещений и сочетаний нужно знать правило умножения: последовательные выборы объединяются перемножением числа способов. Также полезно уверенно находить факториалы и сокращать дроби, содержащие факториалы, иначе вычисления станут громоздкими. В дальнейшем сочетания применяются в биноме Ньютона, где помогают находить коэффициенты при степенях выражения. Оба способа подсчёта встречаются и в задачах на вероятность, когда нужно определить общее число возможных исходов.
Как понять, что в задаче нужно считать размещения?
Проверь, изменится ли результат, если поменять выбранные элементы местами. Если да, например потому, что у элементов разные роли, считай размещения.
Почему при вычислении сочетаний делят на k!?
Один и тот же набор из k элементов можно записать в k! разных порядках. При подсчёте размещений эти записи считаются отдельно, поэтому для числа сочетаний результат делят на k!.
Чем сочетание отличается от размещения?
В размещении порядок выбранных элементов важен, а в сочетании — нет. Например, назначение двух людей на разные должности является размещением, а выбор двух человек в команду — сочетанием.
Что означает в формулах факториал?
Факториал числа n, обозначаемый n!, — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, а по определению 0! = 1.
Может ли число выбираемых элементов быть больше общего числа элементов?
Нет, число выбираемых элементов k не может быть больше общего числа элементов n. Для размещений и сочетаний рассматривают 0 ≤ k ≤ n.
§ 52. Сочетания и размещения
