"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Формула бинома Ньютона позволяет раскрывать степень суммы двух выражений без многократного перемножения скобок. Она показывает, из каких слагаемых состоит разложение (a + b)ⁿ и как найти коэффициент каждого слагаемого. Эти коэффициенты называются биномиальными и вычисляются по формуле или с помощью треугольника Паскаля. Зная правило, можно быстро раскрыть скобки, найти отдельный член разложения и проверить его степень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бином — это сумма или разность двух слагаемых, например a + b или x − 3. Биномом также называют выражение в скобках, если в нём два слагаемых. Это понятие нужно, чтобы отличать задачу о степени суммы двух частей от возведения в степень отдельного числа или одночлена.
Формула бинома Ньютона — правило разложения степени бинома: (a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + … + C(n, n)bⁿ, где n — целое неотрицательное число. Она заменяет последовательное перемножение n одинаковых скобок готовой записью всех слагаемых. Зная формулу, можно раскрыть степень или найти конкретный член разложения.
Биномиальный коэффициент C(n, k) — число перед слагаемым aⁿ⁻ᵏbᵏ; его вычисляют по формуле C(n, k) = n! / (k!(n − k)!). Здесь k принимает значения от 0 до n, а факториал n! — произведение чисел от 1 до n; по соглашению 0! = 1. Коэффициент показывает, сколькими способами при перемножении скобок выбираются k множителей b и остальные множители a.
Показатель n означает, что множитель a + b повторяется n раз: (a + b)ⁿ = (a + b)(a + b)…(a + b). Чтобы получить произведение aⁿ⁻ᵏbᵏ, из ровно k скобок нужно выбрать b, а из остальных — a. Таких выборов C(n, k), поэтому именно это число становится коэффициентом при произведении. Так формула объясняет не только готовые числа, но и причину их появления.
Каждое слагаемое разложения имеет вид C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ, где k меняется от 0 до n. Поэтому показатель a начинает с n и уменьшается на единицу, а показатель b начинает с 0 и увеличивается на единицу. Их сумма всегда равна n, потому что каждый из n множителей даёт ровно один множитель — a или b. Изменение k перебирает все возможные варианты выбора b, так что слагаемых получается n + 1.
Первый и последний коэффициенты всегда равны 1: в первом слагаемом выбирают только a, а в последнем — только b. Коэффициенты симметричны: C(n, k) = C(n, n − k), поскольку выбор k множителей b равносилен выбору остальных n − k множителей a. Поэтому последовательность коэффициентов читается одинаково слева направо и справа налево. Эта симметрия помогает заметить ошибку в вычислениях.
Для небольших n коэффициенты удобно брать из треугольника Паскаля. Его первая строка содержит 1, а каждая новая начинается и заканчивается единицей; каждое внутреннее число получают сложением двух соседних чисел над ним. Например, строка для n = 4 равна 1, 4, 6, 4, 1. Правило сложения следует из равенства C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k): варианты выбора разбиваются на те, где выбран последний множитель, и те, где он не выбран.
Если вместо суммы дана разность, её можно представить как сумму a + (−b). При возведении отрицательного слагаемого в чётную степень получается положительное число, а в нечётную — отрицательное, поэтому знаки в разложении (a − b)ⁿ чередуются. Например, для нечётного n член с b¹ отрицателен, а член с b² положителен. Такой приём надёжнее, чем угадывать знаки по памяти.
Таблица показывает коэффициенты при последовательных степенях a, записанных по убыванию, и b, записанных по возрастанию. Строка с номером n подходит для разложения (a + b)ⁿ. Используйте её как готовую подсказку для коэффициентов, но степени переменных выписывайте отдельно по общему правилу.
| Степень n | Коэффициенты | Разложение (a + b)ⁿ |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | a + b |
| 2 | 1, 2, 1 | a² + 2ab + b² |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ |
Задача: раскройте скобки в выражении (2x − 3)⁴. Здесь возводится в четвёртую степень разность, поэтому сначала представим её как сумму 2x + (−3). Для n = 4 из таблицы получаем коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1. Затем подставим a = 2x и b = −3 в общий вид формулы, сохраняя порядок степеней.
Ответ: (2x − 3)⁴ = 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81. При проверке смотрим, что получилось пять слагаемых, потому что n + 1 = 5. Степени x идут от 4 до 0, а свободный член равен (−3)⁴ = 81.
Ошибка — считать, что (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Такое упрощение пропускает смешанные слагаемые, возникающие при выборе разных частей из множителей скобок. Её допускают, перенося правило степени произведения на сумму. Проверка: раскройте квадрат напрямую, (a + b)² = a² + 2ab + b², и сравните результаты.
Ошибка — перепутать порядок степеней или число слагаемых. Тогда в записи могут исчезнуть некоторые варианты произведений или сумма показателей перестанет равняться n. Причина часто в том, что коэффициенты выписывают отдельно от степеней. Проверьте, что k проходит все целые значения от 0 до n, слагаемых ровно n + 1, а показатели в каждом слагаемом дают в сумме n.
Ошибка — потерять знак при разложении степени разности. Подстановка b = −c приводит к тому, что знак зависит от степени множителя −c, а не просто от номера коэффициента. Ученик может механически записать все слагаемые со знаком плюс. Подставьте отрицательное слагаемое в каждую степень отдельно: чётная степень даёт плюс, нечётная — минус.
Ошибка — неверно вычислить факториал или произведение чисел в коэффициенте. Например, в C(n, k) нельзя забывать деление на оба факториала в знаменателе. Это происходит из-за спешки при работе с большими числами. Сократите дробь до перемножения и сверьте коэффициенты с симметрией: числа на одинаковом расстоянии от краёв строки должны совпадать.
Формула бинома Ньютона опирается на умножение многочленов: её можно получить, последовательно раскрывая скобки и собирая одинаковые слагаемые. Биномиальные коэффициенты связаны с сочетаниями, то есть с числом способов выбрать несколько объектов из набора без учёта порядка. Треугольник Паскаля помогает строить коэффициенты рекурсивно и связывает разложения соседних степеней. Эти связи позволяют выбирать удобный способ: формулу, таблицу или прямое перемножение.
Что показывает формула бинома Ньютона?
Она представляет степень суммы двух выражений как сумму слагаемых с определёнными степенями и коэффициентами. Например, в разложении (a + b)ⁿ степени a убывают от n до 0, а степени b возрастают от 0 до n.
Как найти биномиальный коэффициент?
Коэффициент при члене с номером k равен C(n, k) = n! / (k!(n − k)!). Здесь n! — произведение натуральных чисел от 1 до n, а 0! принимают равным 1.
Как раскрыть степень разности?
Запишите разность как сумму: (a − b)ⁿ = (a + (−b))ⁿ. Затем примените формулу бинома, учитывая, что степени −b дают чередование знаков.
§ 53. Формула бинома Ньютона
