§ 54. Случайные события и их вероятности

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие или наблюдение, исход которого заранее неизвестен, хотя условия его проведения заданы. Например, при броске кубика заранее известно, что выпадет одно из шести чисел, но какое именно — неизвестно. Это понятие нужно, чтобы точно установить, какие результаты мы рассматриваем.

Элементарный исход — один из возможных взаимоисключающих результатов опыта: в одном проведении опыта реализуется только один из них. Для броска кубика элементарными исходами служат числа от 1 до 6. Их перечисление помогает задать пространство исходов и правильно посчитать общее число вариантов.

Случайное событие — совокупность элементарных исходов; событие происходит, если результат опыта принадлежит этой совокупности. Например, событие «выпало чётное число» объединяет исходы 2, 4 и 6. Такое описание позволяет понять, какие результаты считать благоприятными для события.

Вероятность события — числовая мера возможности его наступления. Для равновозможных исходов она равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу исходов: P(A) = m/n. Эта величина нужна, чтобы сравнивать шансы событий, а равновозможность означает, что у каждого элементарного исхода одинаковый шанс реализоваться.

Как это устроено

Сначала задают случайный опыт и перечисляют все его элементарные исходы. Это необходимо потому, что вероятность рассчитывают относительно конкретного набора возможных результатов: если не включить один из исходов или добавить невозможный, изменится общее число вариантов. Например, при броске кубика нельзя считать исходами только те числа, которые интересуют в задаче. Полное описание опыта становится основой для определения событий.

Событие удобно представлять как множество исходов. Тогда два события несовместны, если у них нет общих исходов и не могут произойти одновременно; одно событие влечёт другое, если каждый исход первого входит во второе. Полная группа событий охватывает все возможные исходы, причём при одном проведении опыта реализуется ровно одно событие из группы. Такой подход помогает не только дать словесное описание, но и увидеть связи между событиями.

Если исходов конечное число и они равновозможны, для нахождения вероятности достаточно подсчитать общее число исходов и число подходящих. Это работает потому, что при одинаковых шансах каждый элементарный исход вносит равный вклад в вероятность, поэтому доля благоприятных исходов и есть искомая вероятность. Формула имеет вид P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, а n — общее число исходов. Перед подсчётом нужно убедиться, что исходы перечислены без пропусков и повторов.

У любого события вероятность не меньше 0 и не больше 1, потому что число благоприятных исходов не может быть отрицательным или превышать общее число. Невозможное событие не содержит ни одного исхода, поэтому его вероятность равна 0. Достоверное событие включает все исходы, следовательно, его вероятность равна 1. Эти значения полезны как проверка: результат за пределами отрезка [0; 1] указывает на ошибку в рассуждениях или вычислениях.

Противоположное событие происходит тогда и только тогда, когда исходное событие не происходит. Вместе эти события охватывают все возможные исходы и не пересекаются, поэтому их вероятности в сумме дают 1. Если вероятность события A известна, вероятность противоположного события можно найти вычитанием: P(не A) = 1 − P(A). Такой способ часто проще, когда исходов, при которых событие не наступает, подсчитать легче.

События и их вероятности

Сначала найдите в таблице понятие, которое соответствует условию задачи, затем проверьте условия применения формулы. Значения 0 и 1 и границы вероятности помогут оценить, правдоподобен ли полученный ответ. Если исходы не равновозможны, формула P(A) = m/n без дополнительных данных неприменима.

Разбор задач

Задача 1. При подбрасывании правильной монеты нужно найти вероятность выпадения орла. Монета правильная, поэтому орёл и решка имеют одинаковые шансы. Обозначим событие выпадения орла буквой A.

1. Перечислим элементарные исходы: орёл и решка. Их всего два, и они равновозможны.
2. Благоприятен для A только один исход — орёл. Значит, m = 1, а n = 2.
3. Применим формулу: P(A) = 1/2.

Ответ: 1/2. Доля благоприятных исходов равна половине всех возможных результатов, поэтому вероятность составляет 0,5.

Задача 2. Бросают правильный игральный кубик. Найдём вероятность выпадения числа, кратного 2. Правильность кубика означает равную возможность всех его граней. Событие включает чётные результаты.

1. Пространство элементарных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего исходов n = 6.
2. Среди них числам, кратным 2, соответствуют 2, 4 и 6. Поэтому благоприятных исходов m = 3.
3. По классической формуле P(A) = 3/6 = 1/2.

Ответ: 1/2. Половина граней содержит чётные числа, поэтому шанс получить такое число равен половине.

Задача 3. Из чисел от 1 до 20 наугад выбирают одно. Найдём вероятность того, что оно делится на 3 или на 5. Все 20 чисел считаем равновозможными. Слова «или на 3, или на 5» включают числа, которые делятся и на 3, и на 5.

1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18 — всего 6. Кратные 5: 5, 10, 15, 20 — всего 4.
2. Число 15 входит в оба списка, поэтому при сложении оно учтено дважды. Вычтем один повтор: благоприятных исходов 6 + 4 − 1 = 9.
3. Всего исходов 20, значит, искомая вероятность равна 9/20.

Ответ: 9/20. Вычитание общего исхода нужно, чтобы каждое подходящее число было посчитано ровно один раз.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать исходы равновозможными без основания. Иногда это делают, потому что варианты перечислены одинаково, но одинаковый вид записи не означает одинаковых шансов. Классическая формула требует равновозможности каждого элементарного исхода. Проверьте условие опыта: например, правильная монета даёт равные шансы орлу и решке, а для неправильной монеты это не гарантировано.

Вторая ошибка — перечислить не все исходы или записать один и тот же исход несколько раз. Из-за этого неверным становится общее число n, а вместе с ним и вероятность. Такая путаница часто появляется при сложном условии или невнимательном списке. Проверьте, что каждому возможному результату соответствует ровно одна запись и ни один результат не пропущен.

Третья ошибка — принять число благоприятных исходов за вероятность. Например, если подходят три результата, ответом не обязательно будет 3: нужно соотнести эти результаты со всеми возможными. Формула вероятности при равновозможных исходах требует деления m на n. Самопроверка проста: в ответе должна быть доля, а не просто количество вариантов, и она должна лежать между 0 и 1.

Четвёртая ошибка — при объединении событий складывать числа благоприятных исходов, не проверив, пересекаются ли события. Тогда общие исходы учитываются дважды, как число 15 при подсчёте кратных 3 или 5. Ошибку допускают, когда считают два списка отдельно и сразу складывают их длины. Найдите общие исходы и вычтите их число один раз либо составьте единый список без повторов.

Связь с другими темами

Для работы с вероятностями нужны навыки перечисления конечных множеств, подсчёта их элементов и понимания отношения части к целому. Это помогает точно определить общее число исходов и выделить благоприятные. При подсчёте более сложных вариантов пригодятся комбинаторные методы. Они позволяют применять правила сложения и умножения вероятностей к разным событиям.

Вероятности используют, чтобы оценивать риск и анализировать неопределённость. Такие задачи встречаются в статистике и естественных науках, например при обработке наблюдений и сравнении возможных исходов. В повседневной жизни вероятностное мышление помогает оценивать шансы, но не обещает заранее точный результат отдельного опыта. Оно описывает закономерность для множества возможных повторений.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет заранее заданные условия, но его исход заранее неизвестен.
• Событие происходит, если результат опыта входит в соответствующий ему набор исходов.
• Для равновозможных исходов вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
• Вероятность любого события находится от 0 до 1 включительно.
• Вероятность невозможного события равна 0, достоверного — 1.
• Вероятности противоположных событий в сумме равны 1.