§ 55. Равносильность уравнений

Определения и обозначения

Равносильные уравнения — уравнения с одной и той же областью допустимых значений, имеющие одинаковые корни. Это не обязательно уравнения с похожей записью: решающим является совпадение всех подходящих значений переменной. Понятие нужно, чтобы понимать, какие преобразования не меняют ответа.

Равносильность уравнений на множестве — совпадение множеств их решений именно на указанном множестве. Например, уравнения могут иметь разные корни вообще, но совпадать по решениям среди целых чисел. Это уточнение полезно, когда условие ограничивает значения переменной.

Следствие уравнения — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного уравнения. При таком переходе все новые решения подходят к исходному, но часть его решений может потеряться. Поэтому следствие не всегда можно использовать вместо исходного без дополнительной проверки.

Посторонний корень — корень преобразованного уравнения, не являющийся корнем исходного. Он может появиться, например, после возведения обеих частей в квадрат. Проверка подстановкой нужна, чтобы отличить такой корень от ответа.

Как это устроено

Равносильность определяется совпадением множеств решений, поэтому смотреть только на внешний вид уравнений нельзя. Даже очень похожие записи могут иметь разные корни, а совсем разные — одни и те же. Проверка смысла преобразования сводится к вопросу: можно ли пройти от нового уравнения обратно к исходному без потери решений? Если да и ограничения области допустимых значений соблюдены, множества корней совпадают.

При переносе слагаемого в другую часть его знак меняют, потому что фактически к обеим частям прибавляют или из обеих вычитают одно и то же выражение. Например, из 3x − 5 = 7 получаем 3x = 7 + 5. Обратное действие возвращает исходное равенство, поэтому новых корней не возникает и старые не теряются. Это равносильный переход.

Умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое выражение сохраняет равенство: если две величины равны, их произведения на один и тот же множитель тоже равны. Для деления необходимо, чтобы делитель не был нулём, иначе действие не определено. Если делитель зависит от переменной, его ненулевое значение нужно обосновать на всей рассматриваемой области. Когда это условие не выполнено, сначала отдельно рассматривают значения, при которых выражение равно нулю.

Возведение обеих частей в чётную степень может изменить множество решений, потому что разные числа с противоположными знаками имеют одинаковые чётные степени. Так, из равенства A² = B² следует, что A = B или A = −B, а не обязательно A = B. Поэтому исходное равенство обычно влечёт уравнение после возведения в квадрат, но обратный переход не гарантирован. Появившиеся корни называют посторонними, если в исходном уравнении равенство не выполняется.

Преобразование к следствию требует проверки решений в исходном уравнении, потому что оно сохраняет только одно направление логической связи. Одновременно нужно учитывать ограничения переменной: знаменатель не может быть нулём, а подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным. Эти условия относятся к исходному уравнению и не исчезают после преобразований. Поэтому ОДЗ записывают в начале, а после потенциально неравносильного шага проверяют найденные значения.

Преобразования уравнений и сохранение равносильности

Перед каждым действием найдите в таблице его условие и проверьте, выполняется ли оно для рассматриваемых значений. Особое внимание уделяйте делению и сокращению: нулевой множитель нельзя просто отбросить. После возведения в чётную степень не считайте найденные значения ответом, пока не проверите их в исходном уравнении.

Разбор задач

Решить уравнение 3x − 5 = 7 и обосновать каждое преобразование.

1. Переносим −5 в правую часть с изменением знака: 3x = 7 + 5. Это равносильный переход, потому что прибавили 5 к обеим частям.
2. Вычисляем сумму: 3x = 12. Слагаемые справа объединены, множество решений не изменилось.
3. Делим обе части на 3: x = 4. Число 3 не равно нулю, значит, деление сохраняет равносильность.

Ответ: x = 4. Здесь каждый шаг обратим, поэтому дополнительной проверки на посторонние корни не требуется. Подстановка 4 в исходное уравнение также даёт верное равенство: 12 − 5 = 7.

Решить уравнение (x − 2)(x + 1) = 0, если обе части предварительно разделили на x − 2.

1. Нельзя сразу делить на x − 2: при x = 2 делитель равен нулю, а это значение может быть корнем исходного уравнения.
2. Сначала рассматриваем случай x − 2 = 0. Получаем x = 2, и подстановка в исходное уравнение даёт 0 · 3 = 0, поэтому это корень.
3. Теперь рассматриваем случай x − 2 ≠ 0. Тогда деление допустимо, и из (x − 2)(x + 1) = 0 получаем x + 1 = 0, то есть x = −1.
4. Подставляем −1 в исходное уравнение: (−3) · 0 = 0. Значение подходит; оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: x = 2 и x = −1. Если бы мы сразу сократили на x − 2, потеряли бы корень 2. Разбор нулевого случая до сокращения сохраняет все решения.

Решить уравнение √(x + 1) = x − 1 и проверить результат после возведения обеих частей в квадрат.

1. Для корня требуется x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ −1. Кроме того, левая часть неотрицательна, поэтому равная ей правая часть тоже должна быть неотрицательной: x − 1 ≥ 0, откуда x ≥ 1.
2. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = (x − 1)². Раскрываем скобки и переносим всё в одну часть: x² − 3x = 0.
3. Разлагаем на множители: x(x − 3) = 0. Получаем кандидатов x = 0 и x = 3, но условию x ≥ 1 удовлетворяет только 3.
4. Проверяем оставшееся значение в исходном уравнении: √(3 + 1) = 2, а 3 − 1 = 2. Равенство верно, значит, 3 — корень.

Ответ: x = 3. Возведение в квадрат могло дать лишние решения, поэтому нельзя было ограничиться корнями квадратного уравнения. ОДЗ и условие неотрицательности правой части помогли исключить x = 0 ещё до подстановки.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любое преобразование обеих частей равносильным. Так думают, потому что обе части вроде бы изменяются одинаково, но возведение в чётную степень теряет информацию о знаке. Например, после возведения в квадрат могут подойти значения, для которых исходные части противоположны. Проверяйте, существует ли обратный переход, и подставляйте корни в исходное уравнение.

Ошибка — делить на выражение с переменной, не проверив, может ли оно быть нулём. Это происходит по привычке делить обе части на общий множитель, хотя при его нулевом значении действие недопустимо. В результате можно потерять решение, как при сокращении на x − 2. Приравняйте делитель к нулю и рассмотрите этот случай отдельно.

Ошибка — забывать ограничения области допустимых значений, возникшие из знаменателей, корней или логарифмов. После преобразований исходные ограничения могут быть не видны в новой записи, поэтому легко принять недопустимый корень. Перед решением запишите ОДЗ и сверяйте с ней каждый кандидат. Для дроби исключают нули знаменателя, для чётного корня требуют неотрицательности подкоренного выражения.

Ошибка — приравнивать множители к нулю после любого преобразования, не проверив его равносильность. Правило произведения работает для уравнения вида произведение = 0, но новый вид мог возникнуть после возведения в квадрат или деления. Тогда часть кандидатов может оказаться посторонней или быть потеряна. Проверьте допустимость предыдущего шага, а полученные корни подставьте в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в равносильности, нужно знать, что называют корнем уравнения и множеством его решений, а также уметь преобразовывать выражения. Эти знания помогают отличать изменение записи от изменения ответа. Правила равносильных переходов применяются при решении рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений. Понятие следствия также нужно в доказательствах: оно позволяет точно обосновывать направление перехода и понимать, когда найденные значения требуют проверки.

Что запомнить

• Равносильные уравнения имеют одинаковые множества решений.
• Перенос слагаемого с изменением знака сохраняет равносильность.
• Делить на выражение можно только после проверки, что оно не равно нулю.
• Возведение обеих частей в чётную степень может дать посторонние корни.
• ОДЗ учитывают на протяжении всего решения.
• Корни уравнения-следствия проверяют в исходном уравнении.