"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Определённый интеграл — число, которое получают как предел интегральных сумм при всё более мелком разбиении отрезка. Он помогает находить площади под графиком и вычислять накопленную величину, даже если она меняется непрерывно. Для неотрицательной функции интеграл равен площади криволинейной трапеции, а вычислить его обычно можно по формуле Ньютона — Лейбница: найти первообразную и вычесть её значение в нижнем пределе из значения в верхнем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Определённый интеграл функции f на отрезке [a, b] — предел интегральных сумм, если при измельчении разбиения этот предел существует и не зависит от выбора точек внутри частей. Его записывают как ∫ₐᵇ f(x) dx. Такое определение превращает множество небольших вкладов в одно число, которое можно использовать, например, для вычисления площади.
Интегральная сумма строится так: отрезок [a, b] делят точками на небольшие части, в каждой части выбирают точку и умножают значение функции в ней на длину части. Затем все полученные произведения складывают: Σ f(ξᵢ)Δxᵢ. Сумма приближённо описывает общий вклад функции на отрезке; она нужна, чтобы определить интеграл как предел таких приближений.
В записи ∫ₐᵇ f(x) dx функция f(x) называется подынтегральной, а x — переменной интегрирования. Число a — нижний предел, число b — верхний предел: они задают отрезок, на котором рассматривают функцию. Знак dx напоминает, что суммирование связано с малыми изменениями x, и входит в обозначение интеграла.
Функция называется интегрируемой на отрезке, если для неё существует определённый интеграл, то есть интегральные суммы при измельчении разбиения стремятся к одному и тому же конечному числу. Иными словами, результат не должен зависеть от того, какие точки внутри частей выбраны. Это условие позволяет говорить об интеграле как об однозначной характеристике функции на данном отрезке.
Сначала отрезок [a, b] делят на части точками a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b. Длина i-й части равна Δxᵢ = xᵢ − xᵢ₋₁, а точку ξᵢ выбирают внутри этой части. Произведение f(ξᵢ)Δxᵢ можно представить как площадь узкого прямоугольника со знаковой высотой f(ξᵢ); сумма этих произведений приближает общий результат на отрезке.
Почему приближение становится точнее? На короткой части график функции меняется меньше, поэтому значение в выбранной точке лучше представляет значения на всей этой части. Когда наибольшая длина частей стремится к нулю, сумма прямоугольных вкладов приближается к одному числу, не зависящему от выбора точек. Именно это число и называют определённым интегралом; существование такого предела означает интегрируемость функции.
Если f(x) ≥ 0 на [a, b], график лежит на оси Ox или выше неё. Тогда интегральные суммы приближают площадь фигуры, ограниченной графиком, отрезком оси Ox и прямыми x = a, x = b; такую фигуру называют криволинейной трапецией. Поскольку интеграл есть предел этих сумм, он равен площади криволинейной трапеции.
Если функция принимает отрицательные значения, прямоугольники под осью Ox дают отрицательные слагаемые: f(ξᵢ)Δxᵢ < 0. Поэтому интеграл складывает площади над осью и вычитает площади под ней. Например, равные по величине участки графика по разные стороны оси могут взаимно компенсироваться, хотя общая геометрическая площадь не будет равна нулю.
Для вычисления интеграла часто не требуется составлять суммы. Если F — первообразная f, то формула Ньютона — Лейбница даёт ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Причина в том, что изменение первообразной на отрезке суммирует изменения, связанные с производной f; вычисления сводятся к подстановке двух пределов. Важно вычитать значение в нижнем пределе, а не складывать значения.
| Свойство | Условие | Формула или смысл |
|---|---|---|
| Интеграл на отрезке нулевой длины | a — один и тот же нижний и верхний предел | ∫ₐᵃ f(x) dx = 0 |
| Перестановка пределов интегрирования | Пределы меняют местами | ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx |
| Аддитивность по промежутку | c лежит между a и b | ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫сᵇ f(x) dx |
| Вынесение постоянного множителя | k — постоянное число | ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx |
| Линейность по подынтегральной функции | f и g интегрируемы | ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx |
| Неотрицательность интеграла | f(x) ≥ 0 на [a, b] | ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0 |
Таблица помогает преобразовать интеграл до вычисления: разбить промежуток, вынести постоянное число или разделить сумму функций. При перестановке пределов обязательно меняйте знак. Неотрицательность применима только при условии f(x) ≥ 0 на всём отрезке.
Подынтегральная функция — 3x². Удобно найти первообразную и подставить в неё оба предела по формуле Ньютона — Лейбница. Так мы учитываем весь отрезок от 0 до 2, а не только значение функции в одной точке.
Ответ: 8.
Подынтегральное выражение — сумма 2x и 1, поэтому интеграл можно разделить на два. В первом слагаемом постоянный множитель 2 выносим за знак интеграла; интеграл от постоянной 1 равен длине промежутка. Такое преобразование показывает, как свойства упрощают вычисление, даже если в итоге нужна первообразная.
Ответ: 10.
Для связи площади с интегралом нужно проверить, лежит ли график выше оси Ox. На отрезке [0, 2] имеем x² ≤ 4, значит 4 − x² ≥ 0, а на правом конце функция обращается в ноль. Поэтому площадь равна интегралу функции на этом отрезке, а не сумме модулей нескольких участков.
Ответ: 16/3 квадратной единицы.
Определённый интеграл путают с первообразной, потому что оба понятия связаны с нахождением первообразной функции. Но первообразная F(x) — функция, а ∫ₐᵇ f(x) dx — число. Проверьте себя: после подстановки обоих пределов в формулу Ньютона — Лейбница результат не должен зависеть от x.
При перестановке пределов иногда оставляют прежний знак: запись просто кажется той же самой с другим порядком границ. На самом деле интегрирование в обратном направлении меняет знак, то есть ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx. Проверка простая: для f(x) = 1 интеграл от 0 до 2 равен 2, а от 2 до 0 — −2.
В формуле Ньютона — Лейбница могут подставить только верхний предел или забыть вычесть значение в нижнем. Ошибку допускают, если воспринимают подстановку как вычисление одной функции в конце отрезка. Запишите разность F(b) − F(a) целиком и подставьте каждый предел отдельно, особенно если в выражении есть отрицательные числа.
Интеграл не всегда равен геометрической площади: участки под осью Ox вносят отрицательный вклад. Это легко упустить, поскольку интегральные суммы похожи на сумму площадей прямоугольников. Перед отождествлением интеграла с площадью проверьте знак функции на всём отрезке; если она меняет знак, учитывайте участки отдельно и берите модули для общей площади.
Чтобы вычислять определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница, нужны понятие первообразной и правила её нахождения. Связь с графиками и свойствами функций помогает выяснить, где график находится относительно оси Ox, а знание разбиения отрезка объясняет происхождение интегральных сумм. Идея площади объединяет алгебраический расчёт с геометрией. Определённый интеграл применяют для нахождения площадей фигур, а позднее — в математическом анализе и прикладных задачах, где требуется оценить накопленный результат.
Что именно означает запись определённого интеграла?
Запись ∫ₐᵇ f(x) dx обозначает предел интегральных сумм для функции f на отрезке [a, b], если этот предел существует. Числа a и b задают границы отрезка, а dx указывает, что суммирование относится к изменениям переменной x.
Чем определённый интеграл отличается от первообразной?
Первообразная F — функция, производная которой равна подынтегральной функции f. Определённый интеграл — число, которое вычисляют по значениям первообразной на концах отрезка: F(b) − F(a).
Почему при перестановке пределов меняется знак?
Интеграл учитывает направление от нижнего предела к верхнему. При движении в обратном направлении каждый вклад меняет знак, поэтому ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx.
Когда определённый интеграл равен площади фигуры?
Если f(x) ≥ 0 на всём отрезке [a, b], интеграл равен площади фигуры между графиком функции и осью Ox. Если часть графика находится ниже оси, интеграл учитывает её со знаком минус, поэтому площадь и интеграл могут не совпасть.
Как выбрать первообразную для вычисления интеграла?
Нужно найти любую функцию F, для которой F′(x) = f(x). Все первообразные отличаются на постоянное слагаемое, но оно сокращается в разности F(b) − F(a), поэтому выбирать особую первообразную не требуется.
§ 21. Определённый интеграл
