"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Геометрическая вероятность описывает случайное попадание точки в часть заданной области. Если точку выбирают равномерно, вероятность события находят как отношение меры благоприятной части к мере всей области: используют длину, площадь или объём. Такой способ помогает решать задачи, в которых возможных точек бесконечно много и их нельзя пересчитать поштучно. Главное — верно определить обе области и сравнить меры одного типа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая вероятность — вероятность попадания случайно и равномерно выбранной точки в заданную часть области; она равна отношению меры благоприятной части к мере всей области. Иначе говоря, мы сравниваем, какую долю занимает подходящая часть. Это определение позволяет находить вероятность, даже когда возможных точек бесконечно много.
Равномерный выбор точки — способ выбора, при котором равные по мере части области имеют равные шансы быть выбранными. Например, для отрезка это означает равные шансы попасть в любые два его подотрезка одинаковой длины. Это условие необходимо, чтобы размер части области действительно отражал шанс события.
Геометрическая мера — величина, которой измеряют область выбора: длина для отрезка, площадь для плоской фигуры, объём для тела. Её обозначают и вычисляют по подходящим геометрическим правилам. Выбор нужной меры зависит от того, где именно выбирают точку.
Благоприятная область — часть области выбора, попадание в которую соответствует событию. Если событие выполняется не во всей фигуре, эту часть нужно точно выделить. Её мера становится числителем в формуле вероятности.
При выборе точки из отрезка, фигуры или тела возможных исходов бесконечно много: между любыми двумя точками можно найти другие. Поэтому перечислить исходы, как в опыте с монетой, нельзя. Вместо подсчёта исходов измеряют всю область и её часть. Так длина, площадь или объём заменяют количество равновозможных элементарных исходов.
Равномерность выбора связывает геометрический размер с шансом попасть в область. Если никакая часть не получает преимущества, то область, занимающая, например, треть всей площади, получает точку в среднем в трети случаев. Поэтому вероятность события равна доле меры, отвечающей этому событию, в общей мере. Именно равномерность делает такой переход от размера к вероятности обоснованным.
Меру выбирают по размерности области, а не по удобству вычисления. На отрезке сравнивают длины, на плоскости — площади, в пространстве — объёмы. Если разделить длину на площадь, результат будет зависеть от единиц измерения и не станет вероятностью. Сопоставление мер одного типа даёт безразмерное отношение, которое можно интерпретировать как шанс.
Чтобы найти области, сначала прочитайте, где выбирают точку: это вся область выбора. Затем разберите условие события и решите, какие положения точки ему подходят; это благоприятная область. Например, фраза «расстояние от центра не больше 2» задаёт круг с центром в указанной точке и радиусом 2. Чертёж помогает увидеть границы, проверить, что благоприятная часть находится внутри всей области, и не включить лишнее.
Отношение мер применимо только тогда, когда выбор действительно равномерный: при ином способе выбора крупная часть может иметь меньший шанс, чем маленькая. Кроме того, мера всей области должна быть конечной и ненулевой, иначе отношение не определено или не описывает обычную долю. Например, делить на нулевую длину невозможно. Перед вычислением проверьте эти условия, а после — что полученное число лежит от 0 до 1.
| Область выбора | Мера всей области | Мера благоприятной области | Формула вероятности |
|---|---|---|---|
| Отрезок | Длина всего отрезка | Длина благоприятного участка | P = длина участка / длина отрезка |
| Плоская фигура | Площадь всей фигуры | Площадь благоприятной части | P = площадь части / площадь фигуры |
| Пространственное тело | Объём всего тела | Объём благоприятной части | P = объём части / объём тела |
| Условие применения формулы | Конечная ненулевая мера | Точка выбирается равномерно | P = мера части / мера всей области |
Сначала найдите строку, соответствующую области, где выбирают точку, и установите её меру. Затем измерьте благоприятную часть той же величиной и подставьте обе меры в формулу. Последняя строка напоминает, что одного геометрического рисунка недостаточно: нужны равномерность выбора и конечная ненулевая мера всей области.
Точку равномерно выбирают на отрезке длины 10. Найдите вероятность того, что она попадёт в выделенный отрезок длины 3. Нужно сравнить длины подходящей части и всей области: расположение выделенного отрезка на результат не влияет, если он целиком лежит внутри исходного.
Ответ: 3/10. Это число меньше 1, а значит, соответствует возможной вероятности.
Точку равномерно выбирают внутри прямоугольника со сторонами 8 и 5. Найдите вероятность попадания в расположенный внутри него прямоугольник со сторонами 2 и 3. Поскольку выбор происходит на плоскости, долю подходящих точек нужно оценивать по площадям, а не по длинам сторон.
Ответ: 3/20. Внутренняя фигура занимает 3/20 площади исходного прямоугольника.
Точку равномерно выбирают внутри круга радиуса 6. Найдите вероятность того, что расстояние от неё до центра будет не больше 2. Условие о расстоянии задаёт благоприятную область: все точки на расстоянии до 2 от центра образуют круг радиуса 2. Граница включена, но отдельная окружность не меняет площадь области.
Ответ: 1/9. Радиусы нельзя делить вместо площадей: площадь круга зависит от квадрата радиуса.
Делить длину на площадь или площадь на объём — значит сравнивать разные виды мер. Такую ошибку допускают, когда выбирают формулу не по области, а по числам, которые проще посчитать. Проверьте единицы: у числителя и знаменателя они должны совпадать и сократиться.
Иногда благоприятной считают всю фигуру, хотя событию отвечает только её часть. Это происходит, если условие задачи не перевели в геометрическое описание. Отметьте на чертеже все точки, для которых событие выполняется, и убедитесь, что их область действительно соответствует условию.
Отношение мер используют и при неравномерном выборе точки. Тогда равные по размеру части могут иметь разные шансы, поэтому одна лишь площадь или длина не определяет вероятность. Перечитайте условие: если способ выбора даёт предпочтение каким-либо участкам, нужна другая модель, а простая формула неприменима.
Наконец, можно перепутать числитель и знаменатель или ошибиться в площади, получив вероятность больше 1 либо меньше 0. Такие значения невозможны, потому что событие является частью всех возможных исходов. Проверьте, что благоприятная область не больше всей, а в формуле её мера стоит в числителе.
Для геометрических задач о вероятности нужны умения находить длины, площади и объёмы, включая площади прямоугольника и круга. Также пригодится классическое определение вероятности и понимание слов «случайный опыт» и «событие»: они помогают точно сформулировать, что считается успехом. Геометрическая вероятность расширяет привычный подсчёт исходов на ситуации с бесконечным множеством возможных точек. Её применяют при моделировании случайного выбора и задачах о случайном попадании точки.
Почему при бесконечном числе возможных точек вероятность всё равно можно вычислить?
Точки не пересчитывают по одной, а измеряют область, где они могут оказаться. При равномерном выборе доля благоприятной длины, площади или объёма и есть вероятность события.
Что означает равномерно выбрать точку?
Это значит, что любые части одинаковой геометрической меры имеют одинаковые шансы получить выбранную точку. Например, равные по длине отрезки равноправны при выборе точки на прямой.
Когда в формуле нужно использовать длину, а когда площадь?
Длину используют, если точку выбирают на отрезке, площадь — если внутри плоской фигуры. Для выбора внутри пространственного тела сравнивают объёмы.
Как по условию задачи определить благоприятную область?
Переведите событие в геометрическое условие: выясните, где должна находиться точка, чтобы событие произошло. Затем отметьте соответствующую часть области выбора на чертеже и измерьте её.
Можно ли применять геометрическую вероятность, если точка выбирается неравномерно?
Нет, простое отношение мер в таком случае не работает: равные по длине или площади части могут иметь разные шансы. Нужно учитывать закон распределения вероятностей точки.
§ 22. Вероятность и геометрия
