"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Схема Бернулли описывает серию независимых испытаний, в каждом из которых возможны два исхода: успех или неудача. Она нужна, чтобы находить вероятность заданного числа успехов: например, сколько раз выпадет орёл, произойдут попадания или устройство сработает без ошибки. Главное правило: вероятность ровно k успехов в n испытаниях равна C(n, k)p^kq^(n−k), где p — вероятность успеха, а q = 1 − p.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Испытание с двумя исходами — опыт, в котором рассматривают два взаимоисключающих результата: успех и неудачу. Например, выстрел может закончиться попаданием или промахом. Такое разделение позволяет свести условие к подсчёту числа успехов.
Независимые испытания — повторения опыта, при которых результат предыдущего испытания не меняет вероятности исходов следующего. Подбрасывания монеты обычно считают независимыми. Это условие нужно, чтобы вероятности последовательных исходов можно было перемножать.
Вероятность успеха обозначают буквой p, а вероятность неудачи — буквой q. Поскольку эти два исхода исчерпывают все возможности, выполняется равенство q = 1 − p. Зная одну из вероятностей, можно сразу найти другую.
Схема Бернулли — последовательность из n независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха p в каждом испытании. Число успехов в такой серии может быть любым от 0 до n. Схема нужна для вычисления вероятностей конкретного числа успехов.
Рассмотрим одну определённую последовательность, например: успех, неудача, успех. При независимых испытаниях вероятность первого исхода не влияет на второй и третий, поэтому вероятность всей последовательности равна произведению вероятностей её элементов. Для последовательности с k успехами и n − k неудачами это произведение имеет вид p^kq^(n−k).
Все последовательности, содержащие k успехов и n − k неудач, имеют одинаковую вероятность. Причина в том, что порядок множителей в произведении не меняет результат: в каждом случае будет ровно k множителей p и n − k множителей q. Поэтому сначала достаточно найти вероятность одной такой последовательности.
Однако событие «ровно k успехов» включает не одну последовательность. Успехи могут стоять на любых k местах из n, а остальные места займут неудачи. Выбрать эти места можно C(n, k) способами, поэтому именно это сочетание учитывает все подходящие варианты.
События, соответствующие разным последовательностям, несовместны: один результат серии не может одновременно иметь два разных порядка исходов. Значит, их вероятности складываются. Так как у всех последовательностей вероятность одинакова, сложение превращается в умножение числа последовательностей на вероятность одной из них.
Получаем формулу Бернулли: Pₙ(k) = C(n, k)p^kq^(n−k). Она даёт вероятность ровно k успехов в n испытаниях. Если требуется «не более k» успехов, складывают Pₙ(0) + Pₙ(1) + … + Pₙ(k), а для «не менее k» — Pₙ(k) + … + Pₙ(n).
| Событие | Число успехов | Вероятность |
|---|---|---|
| Ровно k успехов | k | C(n, k)p^kq^(n−k) |
| Ни одного успеха | 0 | q^n |
| Все n испытаний успешны | n | p^n |
| Не более k успехов | 0, 1, …, k | ∑ от i = 0 до k C(n, i)p^iq^(n−i) |
| Не менее k успехов | k, k + 1, …, n | ∑ от i = k до n C(n, i)p^iq^(n−i) |
Сначала определите, какое именно число успехов требуется получить, и выберите соответствующую строку. Для событий «не более» и «не менее» нужно сложить несколько значений формулы Бернулли. Иногда проще использовать противоположное событие, например находить вероятность хотя бы одного успеха как 1 − q^n.
Задача 1. Монету подбрасывают 4 раза. Найдём вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза. Орла объявим успехом: при честной монете p = ½ и q = ½.
Ответ: 3/8, или 0,375.
Задача 2. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8, стрелок делает 5 выстрелов. Требуется найти вероятность ровно 3 попаданий. Здесь p = 0,8, q = 1 − 0,8 = 0,2, n = 5 и k = 3.
Ответ: 0,2048, или 20,48%.
Задача 3. Вероятность безошибочной работы устройства равна 0,9, проверка проводится 6 раз независимо. Нужно найти вероятность не более одной ошибки. Удобно считать ошибку успехом: тогда p = 0,1, q = 0,9, а требуются 0 или 1 такие «успехи».
Ответ: вероятность не более одной ошибки равна 0,885735, примерно 88,57%.
Считать испытания независимыми только из-за их последовательности. То, что события происходят одно за другим, ещё не делает их независимыми: вынутые без возвращения предметы, например, меняют состав набора. Проверьте, сказано ли в условии слово «независимо» или позволяет ли модель считать влияние предыдущего результата отсутствующим.
Забывать, что q = 1 − p. Иногда в степень для неудач подставляют p, потому что сосредоточились на успехах. Выпишите рядом обе вероятности до вычислений и убедитесь, что p + q = 1.
Не учитывать C(n, k). Произведение p^kq^(n−k) описывает лишь один порядок исходов, а не всё событие «ровно k успехов». Для проверки перечислите возможные места успехов и убедитесь, что их число учтено сочетанием.
Путать «ровно», «не более» и «не менее». «Ровно k» означает только одно значение, «не более k» — значения от 0 до k, а «не менее k» — от k до n. Переведите фразу в список допустимых чисел успехов перед подстановкой в формулу.
Для этой темы нужны правило умножения вероятностей независимых событий и правило сложения вероятностей несовместных событий. Они объясняют, почему сначала перемножаются вероятности исходов одной последовательности, а затем складываются вероятности разных последовательностей.
Также понадобятся сочетания C(n, k) и навыки работы со степенями. Схема Бернулли применяется в задачах на повторяющиеся случайные события и подводит к изучению распределения числа успехов.
Что в задаче считать успехом, если речь идёт о неудаче или ошибке?
Успехом можно считать любой исход, который удобно подсчитывать, даже если в условии он назван ошибкой или неудачей. Например, при поиске вероятности ошибок успехом можно объявить ошибку, тогда p будет вероятностью ошибки.
Почему вероятность неудачи равна 1 − p?
Успех и неудача — взаимоисключающие исходы, вместе они образуют все возможные результаты испытания. Поэтому сумма их вероятностей равна 1: p + q = 1, откуда q = 1 − p.
Зачем в формуле Бернулли нужен коэффициент C(n, k)?
Число p^kq^(n−k) относится только к одной конкретной последовательности исходов. Коэффициент C(n, k) показывает, сколькими способами можно выбрать места для k успехов среди n испытаний.
Как найти вероятность хотя бы одного успеха?
Удобнее найти противоположное событие — отсутствие успехов. Поэтому вероятность хотя бы одного успеха равна 1 − q^n.
Можно ли использовать формулу Бернулли, если вероятность успеха меняется от испытания к испытанию?
В обычном виде формулу Бернулли применять нельзя, поскольку она предполагает одну и ту же вероятность p во всех испытаниях. При меняющихся вероятностях нужно отдельно учитывать вероятности разных последовательностей.
§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами
