§ 24. Статистические методы обработки информации

Определения и обозначения

Выборка — совокупность значений признака, полученных при наблюдении или измерении. Это изучаемая часть данных: например, результаты измерения роста нескольких учеников, а не обязательно всех людей. Выборка позволяет делать выводы по ограниченному числу наблюдений.

Вариационный ряд — значения выборки, записанные в порядке неубывания, то есть от меньшего к большему, с сохранением повторов. Например, записи 2, 2, 4, 5 образуют ряд, а 2, 4, 5 не подходят, если в выборке два значения 2. Упорядочение помогает видеть повторы и находить центральные значения.

Частота значения — число его появлений в выборке. Относительная частота — доля появлений этого значения от общего числа наблюдений: частоту делят на объём выборки. Частота удобна для подсчёта, а относительная частота позволяет сравнивать выборки разного размера.

Среднее арифметическое выборки — сумма всех её значений, делённая на их количество. Оно характеризует общий уровень данных и учитывает каждое наблюдение, включая повторяющиеся значения. Поэтому при вычислении среднего важно не потерять повторы.

Как это устроено

Сначала собирают выборку: записывают все полученные при наблюдении или измерении значения. Затем их располагают по возрастанию, не удаляя повторов, и подсчитывают, сколько раз встретилось каждое различное значение. Так получается вариационный ряд с частотами; упорядоченные записи облегчают дальнейшие вычисления и позволяют не путать отдельные наблюдения с набором различных значений.

Сумма частот должна равняться объёму выборки, потому что каждое наблюдение относится ровно к одному из значений. Если при подсчёте сложилось меньше или больше наблюдений, значит, какое-то значение пропущено или учтено дважды. Относительные частоты получаются делением каждой частоты на общий объём, поэтому их сумма равна 1: вместе они описывают всю выборку, то есть 100% наблюдений.

Среднее арифметическое находят по всем наблюдениям, складывая значения и деля сумму на их количество. Если таблица содержит каждое различное значение и его частоту, значение нужно умножить на частоту: это равносильно многократному сложению одинаковых наблюдений. Затем полученные произведения складывают и делят на объём выборки, иначе повторы будут учтены не полностью.

Медиана определяется центральным положением данных в вариационном ряду. При нечётном числе наблюдений ровно одно значение оказывается посередине: слева и справа от него одинаковое число записей. При чётном числе наблюдений середины занимают два значения, поэтому медианой считают их полусумму; так центр ряда задаётся симметрично.

Мода — значение, которое встречается чаще других. Она показывает наиболее частое наблюдаемое значение, но не обязательно совпадает со средним или медианой. Если наибольшую частоту имеют несколько значений, мод несколько; если частоты всех значений одинаковы, выделить наиболее частое нельзя, и моды нет.

Основные характеристики выборки

Пользуйтесь таблицей, чтобы выбрать характеристику под задачу: для долей нужна относительная частота, для центра ряда — медиана. Среднее и мода описывают выборку иначе, поэтому при необходимости полезно сравнить несколько характеристик. Перед вычислением медианы упорядочьте данные.

Разбор задач

Вариационный ряд и частоты

Задача. Для выборки 4, 2, 3, 2, 5 составить вариационный ряд и найти частоты значений. Сначала нужно сохранить все пять наблюдений, включая повторяющуюся двойку. Затем расположение по возрастанию позволит подсчитать повторы.

1. Запишем значения от меньшего к большему: 2, 2, 3, 4, 5.
2. Подсчитаем появления: значение 2 встретилось дважды, а 3, 4 и 5 — по одному разу.
3. Проверим сумму частот: 2 + 1 + 1 + 1 = 5, что совпадает с объёмом выборки.

Ответ: вариационный ряд — 2, 2, 3, 4, 5; частоты: для 2 — 2, для 3, 4 и 5 — по 1.

Среднее, медиана и мода

Задача. Для выборки 2, 3, 3, 4, 8 найти среднее арифметическое, медиану и моду. Данные уже расположены по возрастанию, поэтому можно отдельно вычислить среднее и посмотреть на центральное и наиболее частое значения. Сравнение помогает понять, что характеристики отвечают на разные вопросы.

1. Сложим все наблюдения: 2 + 3 + 3 + 4 + 8 = 20. Разделим сумму на пять: среднее равно 20 / 5 = 4.
2. В ряду пять элементов, поэтому медиана — третий элемент. Им является 3.
3. Чаще всего встречается 3: его частота равна 2, у остальных значений — 1.

Ответ: среднее арифметическое — 4, медиана — 3, мода — 3.

Вычисления по таблице частот

Задача. В таблице указаны значения 1, 2, 3 и их частоты 2, 5, 3. Найти объём выборки, относительные частоты и среднее арифметическое. Частоты означают, что значения 1, 2 и 3 нужно учитывать соответственно два, пять и три раза. Поэтому для среднего нельзя просто сложить различные значения.

1. Сложим частоты: n = 2 + 5 + 3 = 10. Это число всех наблюдений.
2. Разделим каждую частоту на 10: для 1 получим 2/10 = 0,2, для 2 — 5/10 = 0,5, для 3 — 3/10 = 0,3. Проверка: 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1.
3. Найдём сумму наблюдений с учётом повторов: 1 · 2 + 2 · 5 + 3 · 3 = 21. Разделим её на объём выборки: 21 / 10 = 2,1.

Ответ: объём выборки — 10; относительные частоты — 0,2, 0,5 и 0,3; среднее арифметическое — 2,1.

Типичные ошибки

Относительную частоту иногда принимают за число появлений значения. Так происходит, когда путают частоту и долю: частота для двойки может быть равна 4, а относительная частота при объёме 10 — 0,4. Чтобы проверить себя, убедитесь, что каждую частоту разделили на общее число наблюдений.

Медиану нельзя надёжно искать в неупорядоченном наборе: элемент, стоящий посередине записи, может не быть центральным по величине. Ошибка возникает, если принимают порядок перечисления за порядок значений. Перед поиском медианы составьте вариационный ряд, сохранив все повторы.

При чётном объёме выборки ошибочно выбирают одно из двух центральных значений. У ряда нет единственного элемента посередине, поэтому нужно сложить два центральных значения и разделить сумму на 2. Проверьте, что от выбранной пары до краёв ряда находится одинаковое число элементов.

Вычисляя среднее по таблице, иногда складывают только различные значения и делят на число таких значений. Так теряется влияние повторов, потому что каждое наблюдение должно учитываться отдельно. Умножьте каждое значение на его частоту и разделите сумму произведений на сумму частот; результат также можно сверить с расчётом по полному списку данных.

Связь с другими темами

Для работы со статистическими характеристиками нужны навыки вычисления среднего арифметического, упорядочения чисел и действий с дробями. Доли в виде относительных частот могут быть записаны обыкновенными или десятичными дробями, поэтому полезно уметь переходить от одного вида записи к другому. Упорядочивание данных опирается на сравнение чисел.

Статистические характеристики применяют при анализе результатов экспериментов, опросов и измерений: они помогают описывать и сравнивать собранные данные. Частоты и относительные частоты связывают таблицы наблюдений с вероятностью и статистикой. Поэтому освоенные способы полезны и при дальнейшем изучении случайных явлений.

Что запомнить

• Вариационный ряд содержит значения выборки в порядке неубывания.
• Сумма частот равна объёму выборки.
• Сумма относительных частот равна 1.
• Среднее арифметическое учитывает каждое наблюдение.
• Медиана зависит от центрального положения данных в вариационном ряду.
• Мода — значение с наибольшей частотой.