§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел

Определения и обозначения

Нормальное распределение — распределение случайной величины, задаваемое математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ. Параметр μ показывает, около какого значения сосредоточены результаты, а σ характеризует типичный масштаб отклонений от него. Эти два параметра нужны, чтобы описать центр распределения и степень разброса значений.

Гауссова кривая — график плотности нормального распределения. Она имеет колоколообразную форму: возле центра график выше, а по мере удаления от него опускается, причём левая и правая части симметричны. Кривая помогает представить распределение значений, а её площадь над интервалом соответствует вероятности попадания в него.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в смысле её распределения. Оно задаёт центр, вокруг которого группируются возможные результаты, но не обязано встречаться в каждом наблюдении. Эта характеристика позволяет сравнивать распределения и предсказывать средний результат большого числа испытаний.

Закон больших чисел утверждает, что среднее результатов большого числа независимых испытаний приближается к математическому ожиданию. Независимость означает, что результат одного испытания не определяет результат другого. Закон нужен, чтобы объяснить, почему усреднение множества случайных наблюдений даёт устойчивую оценку.

Как это устроено

Математическое ожидание определяет, где находится центр нормального распределения: если изменить μ, то распределение сдвинется вдоль оси значений. Стандартное отклонение отвечает за разброс, потому что показывает характерный масштаб отклонений от центра. При большом σ значения распределены шире, поэтому кривая становится более пологой; при малом σ они теснее сгруппированы, а кривая получается уже и выше. Таким образом, параметры отвечают за разные свойства и не заменяют друг друга.

Симметрия возникает потому, что нормальное распределение одинаково описывает отклонения одинаковой величины в обе стороны от μ. Например, отклонение на 2 единицы вверх от центра соответствует по плотности отклонению на 2 единицы вниз. Вся площадь под кривой равна единице: она представляет суммарную вероятность всех возможных значений случайной величины. Если бы полная площадь была другой, общая вероятность не равнялась бы 1, что противоречило бы смыслу вероятности.

Для непрерывной случайной величины вероятность отдельного точного значения равна нулю, поэтому её определяют для интервалов. Плотность показывает, насколько значения сгущаются около разных участков, но сама высота графика не является вероятностью. Чтобы узнать вероятность попадания в интервал, берут площадь под кривой над ним: широкий участок может давать большую вероятность даже при небольшой высоте. На графике стандартного нормального распределения центр находится в нуле, а площадь выбранной части кривой можно понимать как долю всех возможных результатов.

Рассмотрим повторение независимого испытания, в котором событие может произойти или не произойти. После каждого опыта подсчитывают относительную частоту успеха: число успехов делят на общее число испытаний. При увеличении числа опытов отдельные случайные отклонения обычно меньше влияют на итоговую долю, поэтому частота приближается к вероятности события. Это не означает, что каждый следующий результат обязан компенсировать предыдущий: речь идёт о поведении среднего при большом количестве испытаний.

Математическое ожидание — точная характеристика заданной вероятностной модели, а среднее по наблюдениям рассчитывают по конкретной конечной выборке. Эти величины могут не совпасть, потому что выборка случайна и содержит ограниченное число результатов. Закон больших чисел объясняет, почему увеличение объёма наблюдений обычно улучшает приближение выборочного среднего к математическому ожиданию. Поэтому в вычислениях по данным среднее используют как оценку, а не как гарантированно точное значение.

Нормальное распределение и закон больших чисел

Сначала определите, о каком свойстве спрашивают: о центре, разбросе, графике или вероятности. Затем используйте соответствующую строку таблицы, не смешивая высоту кривой с площадью. Закон больших чисел относится к среднему множества испытаний, а не к исходу отдельного опыта.

Разбор задач

Задача 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 10. Определите, относительно какого значения симметрична её гауссова кривая. Нужно найти центр распределения, а не отдельный возможный результат наблюдения.

1. Для нормального распределения центр кривой задаётся математическим ожиданием.
2. В условии математическое ожидание равно 10, значит ось симметрии проходит через значение x = 10.
3. Проверяем смысл ответа: одинаковые по величине отклонения от 10 влево и вправо соответствуют симметричным частям кривой.

Ответ: кривая симметрична относительно значения 10.

Задача 2. Результат измерения имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 50 и стандартным отклонением 4. Укажите интервал, отстоящий от среднего на два стандартных отклонения. Здесь требуется найти границы интервала, а не вероятность попасть в него.

1. Два стандартных отклонения равны 2 · 4 = 8.
2. От центра 50 отступаем на 8 в обе стороны: нижняя граница равна 50 − 8 = 42, верхняя — 50 + 8 = 58.
3. Записываем значения в порядке возрастания. Полученный интервал показывает диапазон в двух стандартных отклонениях от среднего, но сам по себе не является вычислением вероятности.

Ответ: интервал [42; 58].

Задача 3. Вероятность успеха в одном независимом испытании равна 0,3. Объясните, к какому значению будет приближаться относительная частота успеха при большом числе испытаний. Важно указать ожидаемый предел приближения, не обещая точного совпадения после заранее заданного числа опытов.

1. Относительная частота равна отношению числа успехов к общему числу испытаний.
2. По закону больших чисел при большом количестве независимых испытаний эта частота приближается к вероятности успеха.
3. Вероятность равна 0,3, поэтому именно это значение будет служить ориентиром для относительной частоты. В конечной серии частота может отличаться от него.

Ответ: относительная частота будет приближаться к 0,3, но точное совпадение не гарантируется.

Типичные ошибки

Считать математическое ожидание результатом каждого отдельного наблюдения. Так ошибаются, принимая среднюю характеристику за обязательное значение случайной величины. Проверьте себя: отдельный результат может быть выше или ниже ожидания, а совпадение с ним не гарантировано.

Путать стандартное отклонение с дисперсией. Эти величины связаны, но имеют разные единицы: стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и исходная величина, а дисперсия — в квадрате этих единиц. Проверка проста: если измерения выражены в сантиметрах, стандартное отклонение тоже будет в сантиметрах, а дисперсия — в квадратных сантиметрах.

Принимать высоту гауссовой кривой в точке за вероятность. Такое смешение возникает из-за того, что график визуально связывают с частотой отдельных значений. Для непрерывной величины вероятность задаёт площадь над интервалом, а не высота в одной точке. При проверке ответа укажите интервал и говорите о площади под кривой.

Считать, что при конечном числе испытаний среднее точно совпадёт с математическим ожиданием. Это неверно, поскольку конечная выборка случайна и её среднее может отклоняться от ожидаемого. Закон больших чисел описывает приближение по мере роста числа независимых испытаний, а не обещает точное совпадение в конкретной серии. Проверьте формулировку: верно говорить «приближается», а не «обязательно равно».

Связь с другими темами

Для изучения нормального распределения нужны понятия случайной величины, вероятности, среднего арифметического и независимых испытаний. Среднее арифметическое позволяет вычислять результат по данным, а вероятность и независимость помогают описывать модель повторяющихся случайных опытов. Эта тема пригодится при статистической обработке данных и оценке разброса измерений. Нормальное распределение используют как вероятностную модель, когда нужно описать типичное значение и отклонения вокруг него.

Что запомнить

• Математическое ожидание задаёт центр нормального распределения.
• Стандартное отклонение характеризует разброс значений.
• Гауссова кривая симметрична относительно математического ожидания.
• Полная площадь под кривой плотности равна единице.
• Вероятность попадания в интервал соответствует площади под кривой над этим интервалом.
• При большом числе независимых испытаний среднее результатов приближается к математическому ожиданию.