§ 3. Определённый интеграл

Определения и обозначения

Определённый интеграл функции f(x) на отрезке от a до b записывают ∫ₐᵇ f(x) dx. Функция f(x) называется подынтегральной, числа a и b — пределами интегрирования, а x — переменной интегрирования. Результат интегрирования — число, которое характеризует накопленное изменение или ориентированную площадь на отрезке.

Интегральная сумма строится так: отрезок [a; b] делят на части, в каждой части выбирают точку и умножают значение функции в этой точке на длину части. Затем полученные произведения складывают. Сумма приближает интеграл и помогает перейти от площадей прямоугольников к площади, ограниченной графиком.

Функция называется интегрируемой на отрезке, если её интегральные суммы при измельчении разбиения стремятся к одному и тому же пределу, независимо от выбора точек внутри частей. Этот предел и называют определённым интегралом. Понятие позволяет строго определить интеграл даже тогда, когда нужную площадь нельзя найти простой геометрической формулой.

Формула Ньютона—Лейбница связывает интеграл с первообразной: если F′(x) = f(x), то ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Для вычисления достаточно найти первообразную и подставить в неё верхний и нижний пределы именно в таком порядке. Формула превращает предельный процесс в обычное вычисление значений функции.

Как это устроено

Площадь под кривой трудно найти, если график не является прямой или простой геометрической фигурой. Поэтому отрезок разбивают на короткие части и на каждой заменяют участок графика прямоугольником. Чем уже части, тем меньше отличие прямоугольников от криволинейной области, а сумма их площадей точнее приближает искомую величину.

Для каждого прямоугольника берут высоту f(ξᵢ), где ξᵢ — выбранная точка внутри i-й части, и ширину Δxᵢ. Получается сумма Σ f(ξᵢ)Δxᵢ. Когда наибольшая длина части стремится к нулю, а функция интегрируема, сумма стремится к одному числу при любом допустимом выборе точек; это число и есть определённый интеграл. Так приближение становится точным пределом.

Знак интеграла связан со знаком функции, а не только с геометрическим размером области. Если график расположен выше оси Ox, значения f(x) положительны и прямоугольники добавляют положительные слагаемые. Ниже оси значения отрицательны, поэтому соответствующие части вычитаются; интеграл выражает ориентированную площадь, а не всегда полную площадь фигуры.

Первообразная помогает вычислить накопленное изменение функции. Если F′ = f, то на малом участке приращение F приблизительно равно f(x)Δx; складывая такие приращения по всему отрезку, получаем разность значений F на концах. В пределе сумма становится интегралом, поэтому интеграл равен F(b) − F(a). Это и объясняет формулу Ньютона—Лейбница.

Основные свойства следуют из действий с интегральными суммами. Сумму функций можно разложить на две суммы, а постоянный множитель вынести из каждого слагаемого — отсюда линейность. Разбиение всего отрезка на два меньших даёт сумму вкладов на них, то есть аддитивность; обращение направления обхода меняет знак каждого вклада. Поэтому при перестановке пределов знак интеграла тоже меняется.

Основные свойства определённого интеграла

Сначала проверьте, совпадают ли пределы, не поменяны ли они местами и можно ли разбить промежуток в указанной точке. Затем применяйте линейность, если в подынтегральном выражении есть сумма или постоянный множитель. Условия в таблице помогают не использовать формулы там, где они не подходят.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить ∫₀² x dx как предел интегральных сумм при равномерном разбиении. Здесь функция возрастает, поэтому каждый выбранный прямоугольник даёт вклад, заданный значением x в выбранной точке. Для простоты возьмём правые концы частей.

1. Разобьём [0; 2] на n равных частей. Длина каждой части Δx = 2/n, а её правый конец равен xᵢ = 2i/n.
2. Составим сумму: Sₙ = Σᵢ₌₁ⁿ xᵢΔx = Σᵢ₌₁ⁿ (2i/n)(2/n) = (4/n²)Σᵢ₌₁ⁿ i. Используем равенство 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 и получаем Sₙ = 2(n + 1)/n.
3. При n → ∞ сумма стремится к 2. Следовательно, интеграл равен пределу этих сумм: ∫₀² x dx = 2.

Задача 2. Вычислить ∫₁³ (2x + 1) dx. Подынтегральная функция линейная, поэтому найдём её первообразную и применим формулу Ньютона—Лейбница. При подстановке важно сначала вычислить значение на верхнем пределе, затем на нижнем.

1. Первообразная для 2x + 1 имеет вид F(x) = x² + x, так как F′(x) = 2x + 1.
2. Подставим пределы: F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10. Вычитание именно в этом порядке соответствует направлению интегрирования от 1 к 3.
3. Значит, ∫₁³ (2x + 1) dx = 10. Функция на этом отрезке положительна, поэтому результат также равен площади под её графиком.

Задача 3. Вычислить ∫₀² (x² − 2x) dx и объяснить, почему результат не равен полной геометрической площади. Функция x² − 2x = x(x − 2) отрицательна при 0 < x < 2, а на концах равна нулю. Значит, график между концами лежит ниже оси Ox.

1. Найдём первообразную F(x) = x³/3 − x². По формуле Ньютона—Лейбница получаем F(2) − F(0) = (8/3 − 4) − 0 = −4/3.
2. Отрицательный ответ объясняется тем, что все внутренние значения функции отрицательны: интеграл учитывает площадь со знаком минус. Точка смены знака находится из x(x − 2) = 0; внутри отрезка смены знака нет, а нули стоят на концах.
3. Полная геометрическая площадь равна модулю интеграла, то есть 4/3. Следовательно, интеграл не совпадает с площадью как положительной величиной, потому что измеряет ориентированную площадь.

Типичные ошибки

Ошибка: считать определённый интеграл всегда обычной геометрической площадью. Её допускают, потому что графически интеграл часто изображают как площадь под кривой, забывая о знаке функции. Проверка: выясните, где график расположен относительно Ox; участки ниже оси дают отрицательный вклад, а для полной площади нужно взять модули площадей.

Ошибка: в формуле Ньютона—Лейбница вычислять F(a) − F(b). Так случается, когда порядок пределов переносят на подстановку неверно. Проверка: верхний предел всегда подставляют первым, то есть считают F(b) − F(a); при перестановке пределов весь интеграл должен изменить знак.

Ошибка: при вынесении постоянного множителя забывать его в результате. Коэффициент иногда теряется, если считать, что интегрирование автоматически его убирает. Проверка: сравните выражение с формулой ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx и убедитесь, что множитель k сохранился.

Ошибка: поменять местами пределы и оставить прежний знак. Её допускают, воспринимая пределы как обозначение одного и того же отрезка без направления. Проверка: запомните равенство ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx; если переставили a и b, перед интегралом нужен минус.

Связь с другими темами

Для вычисления интеграла по формуле Ньютона—Лейбница нужны понятия производной и первообразной: производная первообразной должна совпадать с подынтегральной функцией. Существование интеграла связано с непрерывностью функции: непрерывные на отрезке функции интегрируемы. Интегральные суммы опираются на вычисление площадей прямоугольников и на понятие предела последовательности.

Дальше определённый интеграл применяют для нахождения площадей криволинейных фигур, объёмов тел и накопленного изменения величины. Например, если известна скорость, интеграл позволяет найти изменение координаты за промежуток времени. Поэтому интеграл связывает геометрические задачи с изучением движения и других процессов.

Что запомнить

• Определённый интеграл — число, а не функция.
• Переменную интегрирования можно обозначить любой буквой.
• ∫ₐᵃ f(x) dx = 0.
• При перестановке пределов интеграл меняет знак.
• Интеграл по промежутку равен сумме интегралов по его частям.
• Если F′(x) = f(x), то ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).