1. Площади плоских фигур

Определения и обозначения

Площадь плоской фигуры — неотрицательная величина, характеризующая размер области на плоскости. У площади есть три основных свойства: она не бывает отрицательной, площади неперекрывающихся частей складываются, а площадь единичного квадрата равна 1. Эти свойства задают понятный способ сравнивать фигуры и находить площадь сложной области через более простые части.

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b. Здесь a и b задают левую и правую границы области, а график образует её верхнюю границу. Такое название помогает выделить фигуру, площадь которой удобно связывать с интегралом.

Площадь криволинейной трапеции под графиком y = f(x) на отрезке [a; b] при f(x) ≥ 0 вычисляется определённым интегралом: S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Интеграл суммирует значения функции с учётом ширины отрезка. Формула позволяет находить площадь даже тогда, когда верхняя граница не является прямой.

Площадь между графиками y = f(x) и y = g(x) равна интегралу разности верхней и нижней функций на рассматриваемом промежутке. Если f(x) расположена выше g(x), то S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Это определение сводит задачу к вычислению площади полосок, высота которых равна расстоянию между графиками.

Как это устроено

Чтобы связать криволинейную область с прямоугольниками, отрезок [a; b] делят на несколько частей и рассматривают узкие вертикальные полоски. На каждой полоске график можно приблизительно заменить горизонтальным отрезком, получая ступенчатую фигуру. Её площадь складывается из площадей прямоугольников. Чем уже полоски, тем меньше различие между ступенчатой границей и исходным графиком.

Сумма площадей таких прямоугольников является приближением площади под графиком. При всё более мелком разбиении приближения стремятся к одному точному значению, которое задаётся определённым интегралом. Именно поэтому интеграл не просто похож на сумму площадей, а описывает предел этих сумм. Для неотрицательной функции на [a; b] этот предел и есть площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл учитывает не только величину функции, но и её знак относительно оси абсцисс. Полоски над осью дают положительный вклад, а полоски под ней — отрицательный, поэтому интеграл может быть меньше геометрической площади или даже отрицательным. Чтобы найти именно площадь, нужно разделить отрезок в нулях функции и сложить площади частей. То же самое можно записать одним выражением: S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx.

Для области между графиками вертикальная полоска имеет высоту, равную расстоянию от нижнего графика до верхнего. Если сверху расположен график f, а снизу — g, высота полоски равна f(x) − g(x), поэтому площадь получают интегрированием этой разности. Вычитать нужно именно нижнюю функцию из верхней: тогда подынтегральное выражение неотрицательно и соответствует длине полоски. При постоянном порядке графиков достаточно одного интеграла.

Пределы интегрирования выбирают по крайним точкам области, а не произвольно. Если область ограничена графиками, крайние значения x обычно находятся из уравнения f(x) = g(x). Когда графики пересекаются внутри области и меняются местами, в точке пересечения нужно разделить промежуток: на каждом участке заново определить верхнюю функцию. Так площадь не окажется отрицательной из-за неверного порядка вычитания.

Как интеграл связан с площадью плоской фигуры

Сначала выберите строку, соответствующую форме области, затем проверьте указанное условие. Если оно выполняется не на всём отрезке, разделите его на подходящие участки и примените нужную формулу отдельно к каждому.

Разбор задач

1. Площадь под графиком y = x

Условие. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x, осью абсцисс и прямыми x = 0 и x = 2.

1. На отрезке [0; 2] значение x неотрицательно, значит график y = x расположен на оси абсцисс или выше неё. Область является криволинейной трапецией, поэтому можно применить формулу S = ∫₀² x dx.
2. Первообразная функции x — x²/2. Подставляем пределы: S = [x²/2]₀² = 4/2 − 0 = 2. Получено положительное значение, что согласуется с расположением фигуры.

Ответ: 2 квадратные единицы.

2. Площадь между графиками y = x и y = x²

Условие. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками y = x и y = x².

1. Сначала найдём точки пересечения: x = x², откуда x(x − 1) = 0. Абсциссы границ области — 0 и 1, поэтому интегрировать нужно от 0 до 1.
2. На этом промежутке x ≥ x², например при x = ½ получаем ½ > ¼. Значит, сверху находится y = x, а снизу — y = x²; площадь равна ∫₀¹ (x − x²) dx.
3. Вычислим интеграл: [x²/2 − x³/3]₀¹ = ½ − ⅓ = ⅙. Разность неотрицательна на всём промежутке, поэтому результат является геометрической площадью.

Ответ: ⅙ квадратной единицы.

3. Площадь при смене знака функции

Условие. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x² − 1 и осью абсцисс на отрезке [−2; 2].

1. Найдём нули: x² − 1 = 0, откуда x = −1 и x = 1. Между этими точками функция отрицательна, а на отрезках [−2; −1] и [1; 2] — положительна.
2. Поэтому отрезок нужно разделить в точках смены знака и сложить геометрические площади. Функция симметрична относительно оси Oy, так что достаточно удвоить сумму площадей на [0; 1] и [1; 2]: S = 2(∫₀¹ (1 − x²) dx + ∫₁² (x² − 1) dx).
3. Первая площадь равна [x − x³/3]₀¹ = ⅔, вторая — [x³/3 − x]₁² = ⅔. Следовательно, S = 2(⅔ + ⅔) = 8/3; знак внутри отрезка учтён обращением функции в положительную.

Ответ: 8/3 квадратной единицы.

Типичные ошибки

Принимать интеграл за геометрическую площадь, даже когда график проходит ниже оси. Ошибка возникает потому, что формулу площади под графиком переносят на любой случай без проверки знака. Интеграл вычитает вклад участка ниже оси, поэтому проверьте нули функции и знак на каждом промежутке. Для геометрической площади разделите отрезок или используйте |f(x)|.

Вычитать функции в неверном порядке. Если из нижнего графика вычесть верхний, высота полоски получится отрицательной, хотя площадь не может быть отрицательной. Перед вычислением сравните значения функций хотя бы на пробной точке участка. Затем убедитесь, что выражение «верхняя минус нижняя» неотрицательно.

Выбирать произвольные пределы интегрирования. Иногда берут заданные числа, не проверив, действительно ли они ограничивают нужную область. Тогда интеграл может охватить лишнюю часть или пропустить кусок фигуры. Найдите точки пересечения графиков и учтите заданные прямые; полученные границы должны соответствовать краям области.

Не разбивать промежуток при смене знака или порядка графиков. На разных участках положительной может быть разная функция, и единая формула тогда перестаёт описывать площадь. Причина ошибки — считать, что взаимное расположение графиков сохраняется на всём отрезке. Найдите нули или точки пересечения и проверьте знак либо порядок на каждом участке отдельно.

Связь с другими темами

Для вычисления площадей нужно знать определённый интеграл и уметь находить его значение по формуле Ньютона — Лейбница. Также пригодятся навыки исследования графиков: поиск нулей и точек пересечения, сравнение функций на промежутке. Площадь — одно из приложений интеграла наряду с задачами о других геометрических величинах. Разобравшись с ней, легче понять, как интегрирование описывает накопление величины на отрезке.

Что запомнить

• Если f(x) ≥ 0 на [a; b], площадь под графиком равна ∫ₐᵇ f(x) dx.
• Площадь между графиками равна интегралу верхней функции минус нижняя.
• Границы интегрирования задаются границами рассматриваемой фигуры.
• Интеграл учитывает знак функции, а геометрическая площадь всегда неотрицательна.
• При смене знака функции или порядка графиков промежуток нужно разбить.
• Площадь составной фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.