2. Площадь криволинейной трапеции

Определения и обозначения

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), отрезком [a; b] оси Ox и прямыми x = a и x = b. Буквы a и b задают левую и правую границы по оси x. Это определение помогает точно понять, какую именно область будем измерять.

Площадь криволинейной трапеции — площадь фигуры под графиком y = f(x) на отрезке [a; b]; её обозначают S. Так же, как для прямоугольника, речь идёт о размере области, а не о знаке функции. Это обозначение удобно использовать, чтобы отделить искомую площадь от промежуточных вычислений.

Интегральная сумма — сумма площадей прямоугольников, построенных на частях отрезка [a; b], с высотами, равными значениям функции в выбранных точках. Площадь каждого прямоугольника равна ширине части, умноженной на высоту. Такие суммы нужны, чтобы приближённо заменить фигуру, граница которой искривлена.

Определённый интеграл — предел интегральных сумм при неограниченном уменьшении длины наибольшего отрезка разбиения; его обозначают ∫ₐᵇ f(x) dx. Запись показывает функцию и границы, на которых рассматривают её значения. Интеграл позволяет перейти от приближённого подсчёта прямоугольниками к точному результату.

Как это устроено

Сначала отрезок [a; b] делят на несколько более коротких частей. На каждой части можно построить прямоугольник, опирающийся на ось Ox, и подобрать его высоту по значению функции в выбранной точке. Вместо сложной кривой границы получаются простые фигуры, площади которых легко складывать. Поэтому разбиение превращает задачу о криволинейной области в задачу о прямоугольниках.

Приближение становится точнее, когда ширина частей уменьшается. На коротком промежутке значения непрерывной функции меняются мало, поэтому прямоугольник лучше повторяет очертание фигуры. Если части широкие, между их верхними сторонами и графиком остаются заметные зазоры или наложения. При стремлении наибольшей ширины к нулю погрешность такого приближения исчезает.

Для одного и того же разбиения можно выбирать разные точки, а значит, получать прямоугольники разной высоты. Однако для непрерывной функции при измельчении разбиения эти различия становятся всё менее существенными. Поэтому предельное значение интегральных сумм не зависит от того, какие точки внутри частей были выбраны. Именно эта независимость позволяет определить точный результат, а не только оценку.

Когда предел интегральных сумм существует, его записывают как определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx. В случае непрерывной функции f(x) ≥ 0 на всём отрезке этот предел равен площади фигуры: S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Равенство работает потому, что каждый прямоугольник лежит над осью Ox и его площадь положительна. Так геометрический смысл объясняет формулу, а не просто задаёт способ вычисления.

Знак функции особенно важен при толковании интеграла. Если график опускается ниже оси Ox, соответствующие слагаемые интегральной суммы становятся отрицательными, поэтому интеграл может учитывать взаимное вычитание вкладов. Геометрическая площадь при этом не может быть отрицательной: её находят, считая участки по разные стороны оси положительными. Значит, формула площади под графиком напрямую применима при неотрицательной функции на всём отрезке.

От приближения площади к определённому интегралу

Читайте таблицу сверху вниз: каждый следующий шаг опирается на предыдущий и уточняет способ измерения фигуры. Проверьте, что ширины частей входят в площади прямоугольников: одной суммы значений функции недостаточно. Последняя строка применима как формула площади, когда функция непрерывна и неотрицательна на всём отрезке.

Разбор задач

1. Найти площадь фигуры под графиком y = 2 на отрезке [0; 3].

График постоянной функции — горизонтальная прямая, поэтому фигура здесь прямоугольная. Её высота равна 2, а основание от 0 до 3 имеет длину 3. Можно вычислить площадь геометрически, но применим и формулу через интеграл.

1. Функция f(x) = 2 непрерывна и неотрицательна на [0; 3], значит площадь равна определённому интегралу.
2. Записываем S = ∫₀³ 2 dx. Интеграл постоянной функции равен её значению, умноженному на длину отрезка: 2 · (3 − 0).
3. Вычисляем 2 · 3 = 6. Результат совпадает с площадью прямоугольника.

Ответ: S = 6.

2. Найти площадь криволинейной трапеции под графиком y = x на отрезке [0; 2].

На заданном отрезке значения функции неотрицательны, а сама функция непрерывна. График — прямая, проходящая через начало координат; фигура представляет собой прямоугольный треугольник. Для решения запишем интеграл, а затем вычислим его по формуле первообразной.

1. Проверяем условие: при 0 ≤ x ≤ 2 имеем x ≥ 0. Поэтому площадь равна S = ∫₀² x dx.
2. Первообразная для x — x²/2. Подставляем границы: S = [x²/2] от 0 до 2 = 2²/2 − 0²/2.
3. Получаем S = 4/2 = 2. Для проверки можно посчитать площадь треугольника: основание 2 и высота 2 дают ½ · 2 · 2 = 2.

Ответ: S = 2.

3. Найти площадь фигуры под графиком y = x² на отрезке [−1; 2].

Перед вычислением проверим знак функции: квадрат любого числа неотрицателен. Значит, график на всём отрезке лежит на оси Ox или выше неё, и интеграл действительно даст площадь. Отрицательная левая граница не мешает применению формулы: важен знак функции, а не знак x.

1. Записываем S = ∫₋₁² x² dx. Функция непрерывна на всём отрезке и удовлетворяет условию f(x) ≥ 0.
2. Первообразная для x² — x³/3. Подставляем границы: S = [x³/3] от −1 до 2 = 2³/3 − (−1)³/3.
3. Вычитаем значения: 8/3 − (−1/3) = 9/3 = 3. Положительный результат соответствует площади фигуры.

Ответ: S = 3.

Типичные ошибки

Считать, что площадь всегда равна интегралу. Это неверно, если функция принимает отрицательные значения: интеграл учитывает их со знаком, а площадь остаётся неотрицательной. Ошибку допускают, применяя формулу без проверки графика. Проверьте знак функции на всём отрезке; при смене знака геометрическую площадь нужно рассматривать по участкам.

Перепутать пределы интегрирования. Перестановка a и b меняет знак интеграла, потому что меняется направление вычисления. Иногда это принимают за отрицательную площадь. Сверьте границы с условием: площадь записывают с меньшей границы к большей, а затем проверяют, что ответ неотрицателен.

Сложить только значения функции. Интегральная сумма состоит не из одних высот: площадь прямоугольника зависит ещё и от его ширины. Эту ошибку легко допустить, забыв, что разбиение может содержать части разной длины. Для каждой части умножайте выбранное значение функции на ширину, а затем складывайте произведения.

Считать, что непрерывности достаточно. Непрерывность обеспечивает существование интеграла, но для равенства S = ∫ₐᵇ f(x) dx как площади под графиком нужно также f(x) ≥ 0 на всём отрезке. Путают свойства, потому что оба относятся к функции на отрезке. Проверьте отдельно непрерывность и знак; если график уходит ниже оси, интеграл уже не равен полной геометрической площади.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки чтения графика функции и понимание отрезка на числовой оси: они помогают увидеть границы фигуры и проверить знак функции. Понадобится формула площади прямоугольника, поскольку именно из площадей прямоугольников строится приближение. А идея перехода к пределу объясняет, почему такие приближения дают точный результат. Определённый интеграл и его геометрический смысл далее применяются при нахождении площадей более сложных фигур и в приложениях интеграла.

Что запомнить

• Криволинейная трапеция ограничена графиком функции, осью Ox и вертикальными прямыми.
• Интегральная сумма приближает площадь фигуры суммой площадей прямоугольников.
• Определённый интеграл возникает как предел интегральных сумм.
• Если f непрерывна и f(x) ≥ 0 на [a; b], то S = ∫ₐᵇ f(x) dx.
• Площадь неотрицательна; значение интеграла может быть отрицательным, если функция лежит ниже оси Ox.
• Чем мельче разбиение, тем точнее приближение площади интегральной суммой.