"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Криволинейная трапеция — область между графиком неотрицательной функции, осью Ox и вертикальными прямыми. Её площадь можно приближённо получить, заменив область узкими прямоугольниками, а точно — вычислить определённым интегралом. Если функция неотрицательна, площадь равна интегралу на заданном отрезке и находится по формуле Ньютона — Лейбница. Если график проходит ниже оси или пересекает её, область нужно разделить на части, чтобы сложить положительные площади.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. Неотрицательная функция на отрезке принимает только значения больше или равные нулю, поэтому её график лежит над осью или касается её. Такое определение задаёт границы области, площадь которой будем находить.
Площадь криволинейной трапеции — площадь фигуры под графиком функции на отрезке [a; b]. Слова «под графиком» означают, что область расположена между графиком и осью Ox, а её боковые границы проходят через концы отрезка. Понятие нужно, чтобы описывать размер областей, граница которых не обязательно состоит только из прямых.
Интеграл от a до b функции f(x) можно представить как предел сумм площадей прямоугольников, приближающих криволинейную трапецию. Здесь a и b задают концы отрезка, а f(x) — высоту графика над осью. Такое представление связывает вычисление площади с определённым интегралом и позволяет заменить сложную геометрическую задачу вычислением.
Сначала отрезок [a; b] разбивают на несколько более коротких отрезков и на каждом строят прямоугольник. Ширину прямоугольника задаёт длина части разбиения, а высоту выбирают по значению функции внутри этой части. Тогда площадь каждого прямоугольника равна произведению ширины на высоту, а сумма площадей приближает площадь под графиком. Прямоугольники удобны тем, что их площади легко складывать.
Граница фигуры может быть наклонной или изогнутой, поэтому прямоугольники обычно не совпадают с областью точно: где-то они выступают за график, а где-то не достают до него. Если делить отрезок на всё более мелкие части, отклонение на каждом участке становится меньше. Для непрерывной функции на отрезке эта погрешность убывает, поэтому сумма площадей прямоугольников стремится к площади фигуры.
Предел сумм площадей при неограниченном измельчении разбиения и называют определённым интегралом. Поэтому, если f(x) ≥ 0 на всём отрезке, площадь криволинейной трапеции записывают так: S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Интеграл здесь не просто символ вычисления, а точное значение, к которому стремятся приближённые суммы.
Чтобы найти интеграл, используют первообразную: это функция F, производная которой равна подынтегральной функции f. Если F′(x) = f(x), то формула Ньютона — Лейбница даёт S = F(b) − F(a), когда f неотрицательна на [a; b]. Сначала находят первообразную, затем подставляют верхний предел b и вычитают значение при нижнем пределе a. Такой порядок превращает предел сумм в обычное вычисление по формуле.
Если график лежит ниже оси Ox, значения f(x) отрицательны, и определённый интеграл тоже может быть отрицательным. Но геометрическая площадь не бывает отрицательной, поэтому на таком участке берут противоположное значение интеграла. Когда график пересекает ось, область разбивают в точках пересечения: на каждом участке знак функции постоянен, и его площадь можно вычислить отдельно. Затем полученные положительные значения складывают, не позволяя участкам с разными знаками взаимно уничтожиться.
| Расположение графика на [a; b] | Как записать площадь | Как вычислить |
|---|---|---|
| f(x) ≥ 0 на всём отрезке | S = ∫ₐᵇ f(x) dx | F(b) − F(a) |
| f(x) ≤ 0 на всём отрезке | S = −∫ₐᵇ f(x) dx | F(a) − F(b) |
| f(x) меняет знак внутри отрезка | S = сумма модулей интегралов по частям | Разбить отрезок в точках f(x) = 0 и сложить площади |
Сначала проверь знак функции на всём отрезке: от него зависит, совпадает ли интеграл с площадью. Если функция меняет знак, найди точки пересечения с осью и используй их как новые границы участков. В каждой строке таблицы записан способ получить именно геометрическую площадь, а не просто значение интеграла.
На отрезке от 0 до 2 функция y = x неотрицательна, значит площадь равна определённому интегралу. Первообразная функции x — x²/2. Применим формулу Ньютона — Лейбница, подставляя сначала верхний, затем нижний предел.
Ответ: 2 квадратные единицы. Проверка здравого смысла: область — прямоугольный треугольник с основанием 2 и высотой 2, его площадь также равна 2.
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому весь график на заданном отрезке лежит над осью Ox. Значит, интеграл сразу даёт площадь; дополнительно разбивать отрезок не нужно. Первообразная x² — x³/3, и важно вычесть значение на левом конце из значения на правом.
Ответ: 3 квадратные единицы. Отрицательное значение x на части отрезка не означает отрицательную высоту: квадрат x остаётся неотрицательным.
Функция меняет знак, поэтому интеграл по всему отрезку может дать не площадь, а разность площадей участков. Находим пересечения с осью Ox из уравнения x² − 1 = 0: это x = −1 и x = 1. Между корнями график ниже оси, а снаружи — выше; вычислим площади по частям.
Ответ: 8/3 квадратных единиц. Разбиение в корнях функции не даёт положительной и отрицательной частям взаимно сократиться.
Первая ошибка — считать площадь равной интегралу, не проверив знак функции. Интеграл может быть отрицательным, потому что учитывает расположение графика относительно оси, а площадь всегда положительна; путаница возникает из-за одного и того же обозначения f(x). Проверь знак на всём отрезке и сравни результат с геометрическим смыслом: отрицательная площадь невозможна.
Вторая ошибка — не разделить область в точках пересечения графика с Ox. Тогда участки выше и ниже оси дают интегралы разных знаков и могут частично или полностью сократиться; это происходит, если воспринимать весь отрезок как одну область с одинаковым знаком. Найди корни f(x) = 0 внутри отрезка и вычисли площадь на каждом участке отдельно.
Третья ошибка — поменять местами пределы или вычислить F(a) − F(b) вместо F(b) − F(a). Так появляется неверный знак результата, потому что по формуле Ньютона — Лейбница сначала подставляют верхнюю границу, а затем вычитают значение на нижней. Перед вычислением запиши пределы в установленном порядке и проверь знак ответа для неотрицательной функции.
Четвёртая ошибка — путать площадь под одним графиком с площадью между двумя графиками. Во втором случае высота вертикального прямоугольника равна разности значений функций, а не значению одной из них; ошибка возникает, когда не учитывают нижнюю границу области. На каждом участке определи, какой график выше, и интегрируй разность «верхняя функция минус нижняя».
Для работы с площадью нужны понятия определённого интеграла и первообразной, а также формула Ньютона — Лейбница: она позволяет вычислять интеграл через значения первообразной на концах отрезка. Поэтому полезно уметь находить первообразные и подставлять пределы без перестановки их порядка. Площадь под графиком становится основой для вычисления площадей между графиками: там интегрируют разность верхней и нижней функций. Определённый интеграл применяют и в задачах физики, например при нахождении величины по её скорости или плотности.
Почему площадь криволинейной трапеции можно находить с помощью интеграла?
Интеграл возникает как предел сумм площадей прямоугольников, которыми приближают область под графиком. При измельчении разбиения такое приближение становится точным.
Как выбрать пределы интегрирования?
Пределы — это абсциссы вертикальных границ области, то есть концы рассматриваемого отрезка. Если график пересекает ось Ox, дополнительно разбей отрезок в точках пересечения.
Что делать, если график функции проходит ниже оси Ox?
Определённый интеграл на таком участке отрицателен, а площадь должна быть положительной. Поэтому площадь равна интегралу от −f(x) или модулю интеграла от f(x) на этом участке.
Как найти площадь, если график пересекает ось Ox?
Найди точки, где f(x) = 0, и раздели отрезок по этим точкам. На каждом участке определи знак функции и вычисли положительную площадь, после чего сложи результаты.
Чем площадь под графиком отличается от определённого интеграла?
Определённый интеграл учитывает знак функции: часть графика ниже оси Ox даёт отрицательный вклад. Геометрическая площадь всегда неотрицательна, поэтому при смене знака функции интеграл нужно разбить на участки и сложить модули.
12. Площадь криволинейной трапеции
