"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Криволинейная трапеция — область под графиком непрерывной неотрицательной функции, ограниченная осью Ox и вертикальными прямыми. Её площадь находят не простым умножением сторон, а как предел сумм площадей прямоугольников. Этот предел называют определённым интегралом. С помощью формулы Ньютона — Лейбница интеграл вычисляют через первообразную, а те же правила позволяют находить площади ниже оси Ox и между двумя графиками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции, осью Ox и прямыми x = a и x = b. Непрерывность означает отсутствие разрывов графика, а неотрицательность — расположение графика не ниже оси Ox. Такое определение задаёт область, площадь которой можно связать с интегралом.
Площадь криволинейной трапеции — величина, которую находят как предел сумм площадей прямоугольников, приближающих эту фигуру. Прямоугольники заменяют сложную кривую границу более простыми отрезками. Благодаря пределу приближение превращается в точное значение площади.
Разбиение отрезка [a; b] — набор точек, делящих его на части, на которых строят прямоугольники для приближённого вычисления площади. Чем меньше длины этих частей, тем лучше прямоугольники повторяют форму области. Разбиение нужно, чтобы перейти от геометрической фигуры к сумме, а затем к пределу.
Определённый интеграл от f на [a; b] — число, равное площади криволинейной трапеции под графиком f, если f непрерывна и неотрицательна. Его записывают так: ∫ₐᵇ f(x) dx, где a и b — пределы интегрирования. Эта запись позволяет вычислять площадь с помощью первообразной, не строя множество прямоугольников вручную.
Чтобы оценить площадь под графиком, отрезок [a; b] делят на малые части и на каждой строят прямоугольник. Высоту прямоугольника берут по значению функции в выбранной точке соответствующей части. Сумма площадей таких прямоугольников приближает искомую площадь, потому что их верхние стороны повторяют график ступенчатой линией.
Одно разбиение даёт лишь приближённый результат: между графиком и верхними сторонами прямоугольников остаются зазоры. При уменьшении длины частей эти зазоры становятся меньше, поэтому ошибка уменьшается. Когда наибольшая длина частей стремится к нулю, суммы приближаются к единственному пределу.
Предел полученных сумм обозначают определённым интегралом ∫ₐᵇ f(x) dx. Для непрерывной неотрицательной функции он равен геометрической площади, поскольку все слагаемые в приближённых суммах положительны. Интеграл тем самым связывает вычисления с графическим образом фигуры.
Если известна первообразная F функции f, предел сумм можно найти без непосредственного построения прямоугольников. Формула Ньютона — Лейбница утверждает: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Сначала вычисляют значение первообразной в правом конце отрезка, затем вычитают её значение в левом конце.
Если график опускается ниже оси Ox, интеграл учитывает это знаком минус. Поэтому при смене знака функции положительные и отрицательные части могут взаимно компенсироваться, хотя геометрические площади складываются. Для настоящей площади нужно разделить отрезок в точках пересечения с осью Ox и сложить модули интегралов.
Сначала определите положение графика относительно оси Ox, а затем проверьте, не меняется ли знак функции. В области между двумя графиками отдельно установите верхнюю и нижнюю функции. После этого выберите соответствующую строку таблицы.
| Расположение графика | Формула площади |
|---|---|
| f(x) ≥ 0 на [a; b], область ограничена графиком, осью Ox и прямыми x = a, x = b | S = ∫ₐᵇ f(x) dx |
| f(x) ≤ 0 на [a; b], область лежит ниже оси Ox | S = −∫ₐᵇ f(x) dx |
| f меняет знак на [a; b] | Разбить отрезок в точках пересечения графика с Ox и сложить площади частей |
| Область между графиками y = f(x) и y = g(x), где f(x) ≥ g(x) | S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx |
Границы a и b должны соответствовать вертикальным сторонам нужной области или точкам пересечения графиков. Если верхняя функция меняется на промежутке, его также разбивают на части. Результат проверки — неотрицательное число, поскольку геометрическая площадь не может быть отрицательной.
Найдём площадь фигуры под графиком y = 2x на отрезке [0; 3], над осью Ox. Функция непрерывна и неотрицательна на этом отрезке, поэтому дополнительное разбиение не требуется. Используем определённый интеграл и первообразную.
Ответ: 9 квадратных единиц.
Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком y = 4 − x² и осью Ox. Сначала нужно найти, где парабола пересекает ось, потому что именно эти точки задают границы замкнутой области. Между найденными точками функция положительна.
Ответ: 32/3 квадратных единицы.
Найдём площадь фигуры между графиками y = x и y = x². Границы области получаются в точках их пересечения, а верхний график нужно определить до составления интеграла. На отрезке между точками пересечения прямая расположена выше параболы.
Ответ: 1/6 квадратной единицы.
Ошибка 1. Считать любой интеграл площадью, не проверив знак функции. Если f(x) < 0, интеграл отрицателен, а площадь положительна. Проверьте положение графика относительно оси Ox и при необходимости поставьте минус перед интегралом.
Ошибка 2. Не разбивать промежуток в точках пересечения с осью Ox. Тогда положительные и отрицательные части могут сократиться, и получится не площадь, а алгебраическая сумма. Найдите нули функции и вычислите интегралы по отдельным участкам.
Ошибка 3. Вычислять площадь между графиками как интеграл одной функции. Высота вертикальной полоски здесь равна разности ординат верхнего и нижнего графиков. Проверьте, что под знаком интеграла стоит именно «верхняя функция − нижняя функция».
Ошибка 4. Путать пределы интегрирования или порядок вычитания в формуле Ньютона — Лейбница. Нужно найти F(b), затем вычесть F(a), причём b — правая граница, а a — левая. Если результат для площади отрицателен, перепроверьте границы и знак разности.
Для вычисления определённого интеграла нужно знать понятие первообразной и формулу Ньютона — Лейбница. Первообразная превращает задачу о пределе сумм в подстановку границ. Поэтому ошибки в нахождении первообразной сразу отражаются на площади.
Тема опирается на графики функций и нахождение точек пересечения графиков. По графику определяют границы области, знак функции и расположение верхней кривой. Без этого даже правильно вычисленный интеграл может описывать не ту фигуру.
Определённый интеграл и вычисление площадей применяются в физике и при изучении приложений интеграла. С их помощью находят путь по известной скорости, работу силы и другие накопленные величины. Геометрическая интерпретация помогает понять смысл таких вычислений.
Почему площадь криволинейной трапеции определяют через предел сумм?
Кривую границу нельзя точно заменить конечным числом обычных прямоугольников. Но если разбить отрезок на всё более мелкие части, сумма площадей прямоугольников всё точнее приближает искомую область, а её предел и принимают за площадь.
При каких условиях площадь равна определённому интегралу без дополнительных действий?
Это верно, когда функция непрерывна и неотрицательна на всём отрезке [a; b]. Тогда график находится не ниже оси Ox, поэтому ∫ₐᵇ f(x) dx сразу является геометрической площадью.
Что делать, если график функции проходит ниже оси Ox?
Интеграл на таком участке будет отрицательным, а площадь должна быть положительной. Поэтому площадь находят как −∫ₐᵇ f(x) dx, если функция не превышает нуля на всём отрезке, или используют модули интегралов на отдельных участках.
Как найти площадь фигуры, если график пересекает ось Ox внутри промежутка?
Сначала находят абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. Затем разбивают исходный отрезок в этих точках и складывают площади частей, то есть берут модули соответствующих интегралов.
Как определить, какую функцию вычитать при нахождении площади между двумя графиками?
На нужном промежутке определяют, какой график расположен выше. Из значения верхней функции вычитают значение нижней: S = ∫ₐᵇ(f(x) − g(x)) dx, если f(x) ≥ g(x).
§ 64. Площадь криволинейной трапеции
