Решение задач с помощью производной

Определения и обозначения

Производная функции — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю: f′(x) = lim (f(x + h) − f(x)) / h. Она показывает скорость изменения функции: положительная производная соответствует росту, отрицательная — убыванию. Это понятие позволяет описать, как меняется функция, и найти места, где её поведение может измениться.

Критическая точка — внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки отмечают потому, что именно в них функция может перейти от возрастания к убыванию или наоборот. Однако критическая точка сама по себе ещё не доказывает наличие экстремума: поведение функции нужно проверить отдельно.

Точка экстремума — точка локального максимума или локального минимума, то есть вблизи неё функция принимает соответственно наибольшие или наименьшие значения. Локальный экстремум сравнивает функцию только с близкими точками. Наибольшее или наименьшее значение на отрезке сравнивают со всеми значениями на нём, поэтому оно может достигаться на конце отрезка и не быть локальным экстремумом.

Наибольшее значение функции на заданном множестве — значение, которое не меньше всех остальных значений функции на этом множестве; наименьшее — значение, которое не больше остальных. Эти понятия отвечают на вопрос о самом большом или малом результате в пределах заданных условий. Для непрерывной функции на отрезке такие значения существуют, и их ищут, проверяя критические точки и концы отрезка.

Как это устроено

Производная связана с наклоном графика функции: её знак показывает, в какую сторону меняются значения при движении слева направо. Если f′(x) положительна на промежутке, значения функции увеличиваются, значит функция возрастает; если отрицательна — уменьшаются, и функция убывает. Поэтому для исследования монотонности находят производную, отмечают точки, где она равна нулю или не существует, и проверяют знак на получившихся промежутках.

В критической точке знак производной может измениться, а вместе с ним — направление изменения функции. Переход от плюса к минусу означает, что функция сначала возрастала, а затем стала убывать: в точке перехода возникает локальный максимум. Переход от минуса к плюсу означает локальный минимум. Если знак не меняется, экстремума может не быть, поэтому одного решения уравнения f′(x) = 0 недостаточно.

На замкнутом отрезке непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений. Внутри отрезка кандидаты на такие значения — критические точки, а на границе — концы отрезка. Поэтому вычисляют значения функции во всех этих точках и сравнивают: наибольшее из них будет максимумом на отрезке, наименьшее — минимумом. Пропуск концов может дать неверный ответ, даже если критические точки найдены правильно.

В задаче на оптимизацию сначала важно понять, какая величина должна стать наибольшей или наименьшей, и выразить её через одну переменную. Например, если меняется размер вырезаемых квадратов, объём коробки становится функцией этого размера. Затем из геометрических или практических ограничений находят область допустимых значений: она исключает невозможные размеры. Только после этого применяют производную, чтобы не получить формальный ответ, который не подходит условию.

Найденная критическая точка не всегда даёт требуемый в задаче итоговый результат. Чтобы убедиться в максимуме или минимуме, можно проверить смену знака производной, сравнить значение с результатами на границах допустимого промежутка или исследовать функцию на всей этой области. Также необходимо соотнести ответ с исходной ситуацией: допустимы ли найденные размеры и действительно ли оптимизируется нужная величина. Так локальный вывод превращается в обоснованный ответ на задачу.

Применение производной при исследовании функции и решении задач

Пользуйтесь таблицей после того, как определили отрезок и нашли все критические точки внутри него. Подставьте каждую из них и оба конца в исходную функцию, а не в производную. Окончательный ответ выбирайте сравнением полученных значений.

Разбор задач

Промежутки монотонности и экстремумы

Исследуем функцию f(x) = x³ − 3x. Сначала найдём, где её изменение может сменить направление, а затем проверим знак производной по обе стороны от этих точек. Это позволит отличить критические точки от настоящих экстремумов.

1. Находим производную: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
2. Решаем f′(x) = 0 и получаем критические точки x = −1 и x = 1. Они делят числовую прямую на три промежутка.
3. При x < −1 производная положительна; при −1 < x < 1 — отрицательна; при x > 1 — положительна. Значит, функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1).
4. Знак меняется с плюса на минус при x = −1, поэтому там локальный максимум: f(−1) = 2. При x = 1 знак меняется с минуса на плюс, поэтому там локальный минимум: f(1) = −2.

Ответ: функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1); локальный максимум равен 2 при x = −1, локальный минимум равен −2 при x = 1.

Значения на отрезке

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 на [0; 4]. Экстремум внутри отрезка не обязательно будет самым большим или маленьким значением на всём отрезке, поэтому отдельно проверим границы. Сравнение всех кандидатов даст ответ.

1. Находим производную: f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).
2. Критические точки x = 1 и x = 3 обе принадлежат отрезку [0; 4]. Значит, вычисляем функцию в точках 0, 1, 3 и 4.
3. Получаем f(0) = 1, f(1) = 5, f(3) = 1, f(4) = 5. Среди значений самое маленькое равно 1, самое большое — 5.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшее — 5. Они достигаются соответственно при x = 0 и x = 3, а также при x = 1 и x = 4.

Задача на объём коробки

Из прямоугольного листа 20 × 30 см вырезают в углах квадраты со стороной x и загибают края. Нужно выбрать x, чтобы объём коробки стал максимальным. Сначала выражаем объём через единственную переменную и выясняем, какие значения x геометрически возможны.

1. После вырезания высота коробки равна x, а стороны основания — 20 − 2x и 30 − 2x. Поэтому V(x) = x(20 − 2x)(30 − 2x).
2. Для положительных размеров основания нужны условия x > 0, 20 − 2x > 0 и 30 − 2x > 0. Вместе они дают область 0 < x < 10.
3. Раскрываем скобки: V(x) = 600x − 100x² + 4x³. Производная V′(x) = 600 − 200x + 12x²; уравнение V′(x) = 0 даёт x = (25 ± 5√7) / 3.
4. Корень (25 + 5√7) / 3 больше 10 и недопустим. Второй корень x = (25 − 5√7) / 3 лежит между 0 и 10; производная меняет знак с плюса на минус, поэтому объём достигает максимума при этом размере.

Ответ: сторона вырезаемых квадратов должна быть x = (25 − 5√7) / 3 см, приблизительно 3,92 см. Допустимость проверена по размерам листа, а максимум — по смене знака производной внутри области допустимых значений.

Типичные ошибки

Ошибка — считать каждую точку, где f′(x) = 0, точкой экстремума. Производная может обратиться в ноль, но сохранить знак, как у функции x³ около нуля. Проверяйте знаки производной слева и справа: экстремум подтверждает именно их смена.

Иногда пропускают критические точки, где производная не существует, потому что ищут только решения уравнения f′(x) = 0. Но функция может иметь острый угол или другую особенность и при этом оставаться определённой в такой точке. Проверьте область определения и включите все внутренние точки, где производная не существует, в исследование.

При поиске наибольшего или наименьшего значения на отрезке ошибочно сравнивают только значения в критических точках. Наибольшее или наименьшее значение может достигаться на границе, поскольку концы отрезка входят в рассматриваемое множество. Перед сравнением составьте полный список: критические точки внутри отрезка и оба его конца.

В задаче на оптимизацию бывает, что область допустимых значений не записывают и получают отрицательную длину или размер, который не помещается на листе. Причина — производную применяют до того, как учли геометрический смысл переменной. Сначала выпишите ограничения из условия, затем проверьте, что найденное значение им удовлетворяет.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны правила дифференцирования, таблица производных, умение решать уравнения и неравенства, а также свойства непрерывных функций на отрезке. Тема продолжает исследование функций: производная помогает обосновать промежутки возрастания и убывания и положение экстремумов, которые отражаются на графике. Эти методы применяются в задачах на оптимизацию в геометрии, физике и экономике. Они также подготавливают к дальнейшему изучению математического анализа.

Что запомнить

• Знак производной показывает характер изменения функции: возрастание или убывание.
• Критические точки ищут среди решений f′(x) = 0 и точек области определения, где производная не существует.
• Для доказательства локального экстремума исследуют смену знака производной.
• На отрезке сравнивают значения функции во всех критических точках и на концах.
• В задаче на оптимизацию сначала составляют функцию и определяют область допустимых значений.
• Найденный экстремум проверяют по условию задачи и смыслу результата.

Как это устроено