§ 63. Построение эскизов графиков с помощью производной

Определения и обозначения

Эскиз графика функции — схематическое изображение её поведения, построенное по ключевым свойствам без вычисления множества точек. На нём не требуется выдерживать точный масштаб каждой детали. Эскиз нужен, чтобы быстро увидеть общий вид графика и проверить результаты исследования функции.

Критическая точка функции — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки обозначают как возможные места изменения поведения функции. Их обязательно исследуют, но сама по себе критическая точка ещё не означает максимум или минимум.

Интервал монотонности — промежуток, на котором функция только возрастает или только убывает. Если на всём таком промежутке f′(x) > 0, функция возрастает, а если f′(x) < 0, убывает. Знание монотонности помогает правильно соединить характерные точки на эскизе.

Экстремум функции — локальный максимум или минимум, то есть значение, которое вблизи точки не меньше или не больше соседних значений функции. Вид экстремума определяют по смене знака производной при переходе через критическую точку. Это позволяет отличить настоящий поворот графика от точки, где функция продолжает двигаться в том же направлении.

Как это устроено

Сначала находят область определения, потому что график может существовать только при тех значениях аргумента, для которых задано выражение функции. Если в точке знаменатель обращается в ноль, подкоренное выражение становится недопустимым или возникает другая причина разрыва, эту точку исключают. График по разные стороны разрыва исследуют отдельно и не соединяют автоматически.

Затем находят производную и изучают её знак. На промежутке, где f′(x) > 0, при увеличении x значения функции увеличиваются, поэтому график идёт вверх слева направо. Если f′(x) < 0, значения уменьшаются, и график идёт вниз.

Нули производной и точки, где она не существует, вместе с точками разрыва делят область определения на промежутки исследования. Внутри каждого промежутка производная обычно сохраняет знак, поэтому достаточно определить его одним удобным способом: подставить пробное число или разложить производную на множители. Результат записывают в таблицу знаков.

После этого проверяют, меняется ли знак производной в каждой критической точке. Переход от плюса к минусу означает, что функция сначала возрастала, а затем стала убывать: это локальный максимум. Переход от минуса к плюсу даёт локальный минимум, а отсутствие смены знака экстремума не даёт.

В конце все сведения объединяют в один рисунок. Отмечают нули функции, точку пересечения с осью Oy, найденные экстремумы, разрывы и направление ветвей на каждом промежутке. Если известно поведение функции при больших |x| или около границ области определения, его также наносят на эскиз.

Знак производной и поведение функции

Сначала пользуются первыми двумя строками, чтобы заполнить знаки производной на каждом промежутке. Затем сравнивают соседние знаки по обе стороны критической точки и делают вывод о максимуме или минимуме. Точка разрыва не является местом экстремума, потому что функция в ней не задана.

Разбор задач

Задача 1. Постройте эскиз графика функции f(x) = x³ − 3x.

1. Область определения — все действительные числа. Находим производную: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
2. Критические точки: x = −1 и x = 1. Знак производной положителен на (−∞; −1) и (1; +∞), отрицателен на (−1; 1).
3. В точке x = −1 знак меняется с плюса на минус, поэтому это максимум; f(−1) = 2. В точке x = 1 знак меняется с минуса на плюс, поэтому это минимум; f(1) = −2.
4. Нули функции: x(x² − 3) = 0, поэтому x = −√3, 0, √3. Отмечаем эти точки и проводим кривую с найденными направлениями.

Ответ: график возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1), имеет максимум (−1; 2) и минимум (1; −2).

Задача 2. Постройте эскиз графика функции f(x) = x + 4/x.

1. Область определения: x ≠ 0. Точка x = 0 разделяет график на две ветви.
2. f′(x) = 1 − 4/x² = (x − 2)(x + 2)/x². Критические точки: x = −2 и x = 2, а x = 0 является точкой разрыва.
3. Знак производной: плюс на (−∞; −2) и (2; +∞), минус на (−2; 0) и (0; 2). Поэтому в x = −2 максимум, а в x = 2 минимум.
4. Так как функция не определена при x = 0, ветви нельзя соединять. При больших |x| график приближается к прямой y = x, а около нуля выражение 4/x определяет уход ветвей к бесконечности.

Ответ: строят две отдельные ветви с разрывом при x = 0, максимумом в точке (−2; −4) и минимумом в точке (2; 4).

Задача 3. Постройте эскиз графика функции f(x) = x²/(x − 1).

1. Область определения: x ≠ 1. Производная f′(x) = x(x − 2)/(x − 1)², поэтому критические точки x = 0 и x = 2, а x = 1 — точка разрыва.
2. Знак производной положителен на (−∞; 0) и (2; +∞), отрицателен на (0; 1) и (1; 2). Значит, в x = 0 максимум, а в x = 2 минимум.
3. Значения экстремумов: f(0) = 0 и f(2) = 4. Нуль функции x = 0, поэтому график касается оси Ox в точке (0; 0).
4. Около x = 1 график имеет разрыв, а деление x² на x − 1 показывает линейное поведение y = x + 1 при больших |x|. Наносим две ветви, не проходящие через x = 1.

Ответ: график возрастает на (−∞; 0) и (2; +∞), убывает на (0; 1) и (1; 2), имеет максимум (0; 0), минимум (2; 4) и разрыв при x = 1.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что производная в критической точке обязательно равна нулю. Производная может не существовать, например в точке с углом или вертикальной касательной. Проверьте не только уравнение f′(x) = 0, но и точки области определения, где формула производной неприменима.

Ошибка 2. Объявлять максимум или минимум только по равенству f′(x) = 0. Нулевая производная лишь указывает на кандидата в экстремумы, а знак слева и справа может не измениться. Всегда составляйте таблицу знаков.

Ошибка 3. Исследовать знак производной через критическую точку или точку разрыва. В такой точке поведение может измениться, а через разрыв функция вообще не проходит. Разделите область определения и выбирайте пробное значение отдельно на каждом промежутке.

Ошибка 4. Соединять все найденные точки непрерывной линией. Такой рисунок может проходить через значения, где функция не задана, и скрывать разрыв. Перед построением ещё раз выпишите область определения и отметьте исключённые точки.

Связь с другими темами

Для исследования графика нужны правила нахождения производной, а также умение решать уравнения и неравенства, возникающие при изучении f′(x). Эти навыки применяются в задачах на наибольшее и наименьшее значения функции. Эскиз помогает проверить вычисления и понять взаимное расположение графиков, например при поиске числа решений уравнения.

Что запомнить

• Производная показывает направление изменения функции на промежутке.
• Критические точки и точки разрыва разделяют область исследования на промежутки.
• Знак производной устанавливают отдельно на каждом таком промежутке.
• Смена знака производной с плюса на минус означает локальный максимум.
• Смена знака с минуса на плюс означает локальный минимум.
• Для эскиза учитывают не только экстремумы, но и область определения, разрывы и пересечения с осями.