§ 62. Вторая производная. Выпуклые функции

Определения и обозначения

Вторая производная функции f — это производная её первой производной: f''(x) = (f'(x))'. Её также обозначают d²y/dx², если y = f(x). Она существует в тех точках, где первая производная определена и сама имеет производную.

Выпуклой называют функцию, график которой на интервале лежит не выше хорды, соединяющей любые две его точки. При наличии второй производной достаточным признаком является неравенство f''(x) ≥ 0 на всём интервале. Такой признак позволяет определить форму графика вычислениями, не проводя множество хорд.

Вогнутая функция имеет график, расположенный не ниже хорды между любыми двумя точками. Если f''(x) ≤ 0 на интервале, функция вогнута на нём. Это помогает отличить участок графика, изгибающийся вниз, от участка, изгибающегося вверх.

Точка перегиба — точка графика, при переходе через которую меняется характер его выпуклости: например, выпуклость сменяется вогнутостью. Обычно ищут соответствующее значение x₀ и затем проверяют поведение функции слева и справа от него. Само наличие нулевой второй производной ещё не доказывает перегиб.

Как это устроено

Вторую производную находят последовательно. Сначала применяют правила дифференцирования к исходной функции и получают f'(x), затем к этому результату применяют те же правила ещё раз. Например, для f(x) = x³ − 3x имеем f'(x) = 3x² − 3, а f''(x) = 6x.

Знак второй производной связан с формой графика через первую производную. Когда f''(x) > 0, функция f'(x) возрастает: наклон касательных постепенно увеличивается, поэтому график изгибается вверх и является выпуклым. Когда f''(x) < 0, наклоны касательных уменьшаются, f' убывает, а график становится вогнутым.

Чтобы исследовать выпуклость, сначала находят область определения функции. Затем вычисляют f'' и отмечают значения x, где f'' = 0 или не существует: они разбивают область на промежутки. На каждом промежутке выбирают удобную контрольную точку или решают неравенства f'' > 0 и f'' < 0, после чего записывают интервалы выпуклости и вогнутости.

Нули f'' становятся кандидатами на точки перегиба, потому что при переходе через них знак второй производной иногда меняется. Но, например, у функции f(x) = x⁴ в точке x = 0 вторая производная равна нулю, а по обе стороны от нуля она положительна. Значит, выпуклость не меняется и точки перегиба нет.

Хорда соединяет две точки графика отрезком, а касательная касается графика в одной точке и показывает его мгновенный наклон. Для выпуклой функции график лежит ниже хорды и не ниже касательной, а для вогнутой — выше хорды и не выше касательной. Эти геометрические свойства объясняют, почему изменение наклонов касательных связано со знаком f''.

Признаки выпуклости функции на интервале

Таблицу удобно использовать после вычисления второй производной. Сначала сопоставьте знак f'' с нужным видом выпуклости, а затем при необходимости проверьте вывод по поведению f' или по расположению графика относительно хорды и касательной. На отдельных интервалах знак может быть разным.

Разбор задач

1. Исследовать на выпуклость функцию f(x) = x² на всей числовой прямой

Область определения функции — вся числовая прямая. Достаточно определить знак второй производной и применить признак.

1. Находим первую производную: f'(x) = 2x.
2. Дифференцируем ещё раз: f''(x) = 2.
3. Так как 2 > 0 при любом x, функция выпуклая на всей числовой прямой.

Ответ: f(x) = x² выпукла на (−∞; +∞), интервалов вогнутости и точек перегиба нет.

2. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции f(x) = x³ − 3x

Полином определён при всех действительных x, поэтому исследуем знак второй производной на всей числовой прямой.

1. Имеем f'(x) = 3x² − 3 и f''(x) = 6x.
2. Вторая производная равна нулю при x = 0, что делит область на интервалы (−∞; 0) и (0; +∞).
3. При x < 0 значение 6x отрицательно, а при x > 0 положительно. Поэтому слева функция вогнута, справа выпукла.

Ответ: функция вогнута на (−∞; 0), выпукла на (0; +∞); x = 0 — значение, при котором меняется выпуклость, и точка графика (0; 0) является точкой перегиба.

3. Для функции f(x) = x⁴ − 4x³ определить интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба

Здесь нужно не ограничиваться поиском нулей второй производной: после разбиения области проверим знак на каждом промежутке.

1. Находим f'(x) = 4x³ − 12x², затем f''(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2).
2. Нули f'': x = 0 и x = 2. Область определения — вся числовая прямая, поэтому получаем интервалы (−∞; 0), (0; 2), (2; +∞).
3. Знак произведения 12x(x − 2) положителен на первом и третьем интервалах, отрицателен на среднем. Значит, функция выпукла на (−∞; 0) и (2; +∞), а вогнута на (0; 2).
4. Знак меняется при переходе через оба значения, поэтому ищем координаты точек: f(0) = 0, f(2) = 16 − 32 = −16.

Ответ: точки перегиба — (0; 0) и (2; −16); выпуклость: (−∞; 0) и (2; +∞), вогнутость: (0; 2).

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать f''(x₀) = 0 автоматическим доказательством перегиба. Нулевое значение лишь отмечает кандидата, потому что знак второй производной может остаться одинаковым. Проверьте знаки слева и справа от x₀.

Ошибка 2. Путать f'' с изменением самой функции. Вторая производная показывает, как меняется f', а не возрастает ли или убывает f. Для монотонности исследуют знак f', для выпуклости — знак f''.

Ошибка 3. Проверять знак f'' в одной точке и переносить результат на всю область. Между нулями и точками разрыва знак может измениться. Разделите область на интервалы и сделайте отдельную проверку каждого.

Ошибка 4. Игнорировать точки, где f'' не существует. Такая точка также может разделять участки с разной выпуклостью. Сначала найдите область определения и область существования второй производной, затем проверьте соседние интервалы.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь находить первую производную и исследовать её знак на интервалах. Вторая производная дополняет полное исследование функции: с её помощью строят более точный эскиз графика и находят точки перегиба.

Понятие выпуклости связано с касательными, хордами и поведением наклонов. Позже эти идеи применяются при изучении экстремумов и решении задач на оптимизацию, где форма графика помогает оценить единственность и характер найденного решения.

Что запомнить

• Вторая производная — это производная первой производной.
• Если f''(x) > 0 на интервале, то f' возрастает, а функция выпукла на этом интервале.
• Если f''(x) < 0 на интервале, то f' убывает, а функция вогнута на этом интервале.
• Нули f'' помогают разбить область определения на интервалы для исследования.
• Для точки перегиба необходимо изменение характера выпуклости.
• Равенство f''(x₀) = 0 само по себе не доказывает наличие точки перегиба.