6.3. Площадь криволинейной трапеции

Определения и обозначения

Криволинейная трапеция — область, ограниченная графиком непрерывной функции y = f(x), осью Ox и двумя вертикальными прямыми x = a и x = b. Ось Ox задаёт нижнюю границу, а прямые отсекают область слева и справа. Такое описание позволяет точно указать, какую часть плоскости нужно измерить. Например, для y = x² на отрезке от 0 до 2 область лежит между параболой и осью Ox.

Площадь криволинейной трапеции — числовая мера области под графиком неотрицательной функции на отрезке [a; b]. «Под графиком» означает, что точки области расположены между графиком и осью Ox при a ≤ x ≤ b. Эта величина показывает размер области, а не её положение на координатной плоскости. Поэтому площадь всегда неотрицательна.

Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что при f(x) ≥ 0 интеграл от a до b равен площади криволинейной трапеции. Записывают это так: S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Такая связь превращает задачу о площади в вычисление интеграла, для которого можно применять формулу Ньютона—Лейбница. Условие о знаке функции необходимо: без него интеграл может учитывать вклад участков по-разному.

Площадь области между графиками на общем отрезке равна разности интегралов верхней и нижней функций, то есть интегралу их разности. Если сверху расположен y = f(x), а снизу y = g(x), то S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Эта формула нужна, когда границами области служат две кривые, а не ось Ox. Важно сначала определить, какой график выше на всём рассматриваемом промежутке.

Как это устроено

Чтобы задать криволинейную трапецию, недостаточно назвать только график: кривая сама по себе не указывает, какую именно ограниченную часть плоскости считать. Ось Ox задаёт одну из границ, а вертикальные прямые x = a и x = b определяют левый и правый края области. Вместе эти линии замыкают область, площадь которой можно вычислять. Если функция расположена ниже оси, геометрическая область всё равно существует, хотя формулу для интеграла придётся скорректировать.

Представим отрезок [a; b], разделённый на небольшие промежутки, и на каждом выберем значение функции. Над частью оси Ox можно построить прямоугольник: его ширина равна длине промежутка, а высота приблизительно равна значению функции. Сумма площадей этих прямоугольников приближает площадь под кривой, потому что при малой ширине полос график успевает измениться лишь немного. Чем мельче разбиение, тем точнее обычно получается такая оценка.

Сумма прямоугольников зависит от того, на сколько частей разделён отрезок и где именно выбраны значения функции. При непрерывной функции, когда ширина наибольшего промежутка стремится к нулю, эти приближения становятся всё точнее и стремятся к одному числу. Это число и называют определённым интегралом функции на [a; b]. Поэтому интеграл не просто похож на площадь: он возникает как предел сумм площадей узких полос.

Формула S = ∫ₐᵇ f(x) dx работает напрямую, когда f(x) ≥ 0 на всём отрезке. Тогда каждый небольшой прямоугольник находится над осью Ox, и его вклад в интеграл совпадает с положительной площадью. Если график опустился ниже оси, интеграл учитывает эту часть со знаком минус, хотя площадь остаётся положительной. Поэтому при f(x) ≤ 0 используют S = −∫ₐᵇ f(x) dx, а при смене знака отрезок делят на части.

Для области между двумя графиками высота каждой узкой полосы приблизительно равна расстоянию между ними по вертикали. Если верхняя функция — f(x), а нижняя — g(x), эта высота выражается разностью f(x) − g(x), поэтому площади полос складываются в интеграл их разности. Сначала нужно найти точки пересечения и проверить, что порядок графиков не меняется на всём отрезке. Если он меняется, область делят в точках пересечения и применяют формулу отдельно к каждой части.

Формулы площадей областей, заданных графиками

В таблице собраны формулы для типичных расположений графиков. Пользуйся ею после того, как определишь границы области и проверишь знак функции или порядок графиков. Если знак или порядок меняется внутри отрезка, раздели область на части и найди площадь каждой отдельно.

Разбор задач

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2.

1. Определяем границы интегрирования: вертикальные прямые задают отрезок [0; 2]. На нём x² ≥ 0, значит, график не опускается ниже оси Ox. Можно применить формулу площади под неотрицательной функцией.
2. Записываем S = ∫₀² x² dx. Первообразная для x² — x³/3, поэтому по формуле Ньютона—Лейбница S = [x³/3]₀². Вычисление даёт 8/3 − 0 = 8/3.

Ответ: S = 8/3. Результат положителен, как и должно быть у площади. Проверка знака до интегрирования объясняет, почему здесь не требуется менять знак результата.

Найти площадь области, ограниченной графиком y = sin x, осью Ox и прямыми x = 0 и x = π.

1. На отрезке [0; π] синус неотрицателен: его график расположен на оси Ox или выше неё. Поэтому площадь равна интегралу S = ∫₀π sin x dx, без дополнительного знака минус. Указанные прямые сразу задают пределы интегрирования.
2. Первообразная функции sin x — −cos x. По формуле Ньютона—Лейбница получаем S = [−cos x]₀π = −cos π − (−cos 0). Так как cos π = −1, а cos 0 = 1, результат равен 1 + 1 = 2.

Ответ: S = 2. Значение положительно и соответствует площади всей области между графиком и осью на указанном отрезке. Если бы отрезок захватывал участки синуса разных знаков, его пришлось бы разделить в точках пересечения с Ox.

Найти площадь области, ограниченной графиками y = x и y = x².

1. Сначала находим точки пересечения: x = x², откуда x(x − 1) = 0 и x = 0 или x = 1. Значит, искомая область находится между этими абсциссами. Чтобы установить верхний график, сравним функции, например, при x = ½.
2. При x = ½ имеем x = ½ и x² = ¼, поэтому прямая y = x расположена выше параболы y = x² на отрезке [0; 1]. Площадь равна интегралу разности: S = ∫₀¹ (x − x²) dx. Первообразная — x²/2 − x³/3, поэтому S = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Ответ: S = 1/6. Границы интегрирования получены из точек пересечения, а порядок вычитания выбран по расположению графиков. На концах отрезка графики встречаются, внутри разность x − x² положительна, что служит дополнительной проверкой.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любой определённый интеграл площадью и не проверять знак функции. Если график ниже оси Ox, интеграл получается отрицательным, потому что площадь под осью учитывается со знаком минус. Такую путаницу допускают, смешивая геометрическую площадь и значение интеграла. Проверь знак графика на всём отрезке и убедись, что итоговая площадь неотрицательна.

Ошибка: вычитать нижнюю функцию из верхней в неправильном порядке. Тогда подынтегральная разность может оказаться отрицательной, хотя речь идёт о положительной площади. Обычно это случается, когда порядок графиков не проверяют на отрезке. Сравни значения функций внутри промежутка и запиши разность «верхняя минус нижняя».

Ошибка: выбирать пределы интегрирования, не найдя границы области. Если нужно найти площадь между графиками, но абсциссы их пересечения пропущены, интеграл может охватить лишнюю область или не включить нужную часть. Причина — механическое использование формулы без анализа условия. Реши уравнение пересечения графиков и проверь, что полученные точки ограничивают нужную область.

Ошибка: не разбивать отрезок в точках, где функция пересекает Ox. Тогда положительный и отрицательный вклады интеграла могут взаимно компенсироваться, и результат не будет общей геометрической площадью. Это происходит, когда интеграл воспринимают как площадь без проверки знака. Найди нули функции внутри отрезка, вычисли площадь на каждом участке отдельно и сложи положительные значения.

Связь с другими темами

Для вычисления площади нужны определённый интеграл, первообразная и формула Ньютона—Лейбница: они позволяют перейти от геометрической задачи к вычислению. Также требуется уметь исследовать графики, находить точки пересечения и сравнивать значения функций. Эти приёмы применяются не только в геометрии, но и в задачах на движение, физике и прикладных моделях, где интеграл описывает накопленную величину. Позже геометрический смысл интеграла поможет находить объёмы тел и другие интегральные величины.

Что запомнить

• Криволинейная трапеция ограничена графиком функции, осью Ox и двумя вертикальными прямыми.
• Если f(x) ≥ 0 на [a; b], то S = ∫ₐᵇ f(x) dx.
• Площадь всегда неотрицательна.
• Если функция ниже оси Ox, площадь равна −∫ₐᵇ f(x) dx.
• Площадь между графиками равна интегралу разности верхней и нижней функций.
• Перед вычислением площади нужно определить границы области и знаки функций.
• При смене знака функции или порядка расположения графиков область нужно разбивать на части.