"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Замена переменной и интегрирование по частям помогают находить первообразные, когда готовая формула не подходит напрямую. При замене переменной сложное выражение упрощают, связывая новую переменную с производной внутренней функции. При интегрировании по частям произведение раскладывают так, чтобы один множитель стало проще интегрировать, а другой — дифференцировать. Главное — выбрать подходящий приём и аккуратно преобразовать все части интеграла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Замена переменной интегрирования — переход от переменной x к новой переменной t, выбранной так, чтобы упростить подынтегральное выражение. Например, вместо сложного выражения x² можно ввести t = x². Такой переход нужен, когда после него интеграл становится похож на знакомый табличный.
Дифференциал новой переменной — запись dt = φ′(x) dx, связывающая дифференциалы при замене t = φ(x). Она показывает, как изменяется новая переменная при изменении x. Эта связь помогает заменить не только выражение внутри функции, но и множитель при dx.
Интегрирование по частям — способ вычисления интеграла по формуле ∫u dv = uv − ∫v du. Здесь u и dv — части подынтегрального выражения, а du и v получают дифференцированием и интегрированием соответственно. Метод нужен для произведений функций, когда такой выбор упрощает вычисление.
Первообразная — функция, производная которой равна подынтегральной функции. Неопределённый интеграл обозначает все первообразные и содержит постоянную C, поскольку производная любой константы равна нулю. Это определение позволяет проверять результат интегрирования обратным действием — дифференцированием.
Замена переменной связана с правилом дифференцирования сложной функции. Если t = φ(x), то производная F(φ(x)) равна F′(φ(x))φ′(x), то есть в ней появляется производная внутреннего выражения. Поэтому, заметив множитель φ′(x), можно подобрать замену так, чтобы интеграл принял вид, для которого известна первообразная.
При замене t = φ(x) выражение φ′(x) dx записывают как dt, а остальные части интеграла тоже выражают через t. Это необходимо, чтобы под интегралом осталась только одна переменная и преобразование было согласованным. После нахождения первообразной через t возвращаются к x, подставляя исходное выражение для новой переменной.
Интегрирование по частям рассматривает исходный интеграл как ∫u dv. Формула возникает из правила дифференцирования произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Если перенести слагаемое u′v в другую часть равенства и проинтегрировать, получится ∫u dv = uv − ∫v du. Так один интеграл заменяется произведением и другим интегралом.
Для применения формулы нужно распределить части выражения между u и dv. Функцию u выбирают так, чтобы её производная du упростилась, а dv — так, чтобы можно было найти v. Тогда остаточный интеграл ∫v du обычно легче исходного; если он стал сложнее, выбор частей неудачен и его стоит пересмотреть.
Замена переменной удобна, когда в интеграле видна производная внутреннего выражения, например множитель 2x рядом с функцией от x². Интегрирование по частям чаще выбирают для произведения функций, когда дифференцирование одного множителя упрощает его. Решение зависит не от внешнего вида самого по себе, а от того, какой приём приводит к более простому интегралу.
| Что сравниваем | Замена переменной | Интегрирование по частям |
|---|---|---|
| Основная формула | t = φ(x), dt = φ′(x) dx | ∫u dv = uv − ∫v du |
| Признак выбора метода | Видна производная внутреннего выражения | Есть произведение, один множитель упрощается при дифференцировании |
| Что обозначают перед преобразованием | Новую переменную t | Части u и dv |
| Какая операция упрощает интеграл | Переход к более простой переменной | Дифференцирование u и интегрирование dv |
| Что необходимо сделать после вычисления | Вернуться к исходной переменной x | Добавить C и проверить результат при необходимости |
Сначала сравните признаки в средней строке: это помогает определить, какой приём уместен. Затем проверьте, что преобразование действительно упрощает интеграл, а не просто меняет его запись. Для неопределённого интеграла не забывайте о постоянной C.
В каждом примере сначала выясним, что именно мешает сразу воспользоваться таблицей первообразных. Затем выберем преобразование, которое устраняет это препятствие. В конце запишем ответ в исходных обозначениях и добавим постоянную C.
Внутри косинуса стоит x², а рядом находится множитель 2x. Это производная выражения x², поэтому положим t = x². Тогда dt = 2x dx.
Заменим одновременно внутреннее выражение и множитель при dx: ∫2x cos(x²) dx = ∫cos t dt. Первообразная cos t равна sin t, поэтому получаем sin t + C.
Возвращаемся к переменной x: вместо t подставляем x². Такая проверка согласованности замены исключает ответ, записанный через вспомогательную переменную.
Ответ: sin(x²) + C.
Подынтегральная функция является произведением x и eˣ. Если взять u = x, его производная du = dx упростится; положим dv = eˣ dx, тогда v = eˣ.
Применяем формулу: ∫x eˣ dx = x eˣ − ∫eˣ dx. Остаточный интеграл проще исходного, потому что из него исчез множитель x.
Вычисляем оставшуюся первообразную: x eˣ − eˣ + C. При дифференцировании выражения производные слагаемых сокращаются так, что остаётся x eˣ.
Ответ: eˣ(x − 1) + C.
Логарифм удобно взять за u: при дифференцировании он превращается в 1/x. Вторую часть выбираем dv = x dx, поскольку её легко проинтегрировать: u = ln x, du = dx/x, v = x²/2.
По формуле получаем ∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x²/2)(1/x) dx. В оставшемся интеграле выражение упрощается до ∫x/2 dx, то есть до степенного интеграла.
Находим первообразную оставшейся части: ∫x/2 dx = x²/4. Поэтому результат равен (x²/2)ln x − x²/4 + C. Условие x > 0 обеспечивает, что логарифм определён.
Ответ: (x²/2)ln x − x²/4 + C.
При замене t = φ(x) иногда заменяют только выражение на t, но забывают преобразовать dx и множитель φ′(x). Ошибка возникает, когда новую переменную воспринимают как простую подпись, а не как полноценное преобразование интеграла. Проверяйте, что каждый множитель исходного выражения учтён и под интегралом осталась только переменная t.
После интегрирования через новую переменную иногда оставляют ответ через t. Это происходит, если забыть, что t вводилась лишь как вспомогательное обозначение для исходной задачи. Проверьте финальную запись: в ней должно быть исходное x, а не t.
В формуле интегрирования по частям можно потерять знак минус и записать сумму вместо разности. Причина часто в механическом запоминании формулы без связи с производной произведения. Сверьте запись с ∫u dv = uv − ∫v du, а затем продифференцируйте ответ.
Неудачный выбор u и dv может привести к остатку сложнее исходного интеграла. Такое случается, если назначить части, не проверив, что получится после дифференцирования и интегрирования. До вычислений наметьте остаточный интеграл и сравните его сложность с первоначальной задачей.
Для замены переменной нужно уметь находить производную сложной функции, а для формулы по частям — производную произведения. Оба приёма опираются на обратную связь между дифференцированием и интегрированием, поэтому важно знать таблицу первообразных. Понимание постоянной C помогает правильно записывать неопределённый интеграл. Эти способы применяют и при нахождении первообразных, и при вычислении определённых интегралов.
Как понять, какую замену переменной выбрать?
Ищите сложное внутреннее выражение и его производную среди множителей подынтегральной функции. Например, в 2x cos(x²) удобно взять t = x², потому что 2x dx превращается в dt. После замены интеграл должен стать проще.
Почему при замене нужно преобразовать dx?
Потому что dx — часть интеграла, а не отдельный знак, который можно оставить без изменения. Из равенства t = φ(x) следует dt = φ′(x) dx, поэтому множитель при dx нужно согласовать с новой переменной.
Нужно ли возвращаться к исходной переменной после замены?
Да, в неопределённом интеграле обычно возвращаются к x, подставляя обратно выражение для t. Иначе первообразная будет записана через вспомогательную переменную, которая не входит в исходную задачу.
Как выбрать u и dv при интегрировании по частям?
Выбирайте u так, чтобы его производная стала проще, а dv — так, чтобы его можно было легко проинтегрировать. Затем проверьте, стал ли интеграл ∫v du проще исходного. Если он усложнился, стоит поменять выбор.
Почему в формуле интегрирования по частям появляется минус?
Из правила производной произведения следует (uv)′ = u′v + uv′. Если выразить интеграл от uv′, то слагаемое с u′v переносится в другую часть равенства и получает знак минус.
6.2. Замена переменной. Интегрирование по частям
