6.1. Понятие первообразной

Определения и обозначения

Первообразной функции f на промежутке называют функцию F, производная которой на этом промежутке равна f. Записывают: F′(x) = f(x). Такое определение позволяет восстанавливать функцию по известной скорости её изменения и служит основой дальнейшего изучения интегралов.

Говорят, что F — первообразная функции f, если равенство F′(x) = f(x) выполняется в каждой точке рассматриваемого промежутка. Недостаточно проверить несколько отдельных значений: производная должна совпадать с f на всём указанном интервале. Поэтому при проверке сначала находят F′, а затем сравнивают полученное выражение с f.

Постоянная интегрирования — произвольное число C, которое прибавляют к найденной первообразной. Все первообразные одной функции записывают в виде F(x) + C. Буква C обозначает любое действительное число, поэтому такая запись сразу описывает не одну функцию, а целое семейство.

Как это устроено

Понятие первообразной связано с обратной задачей дифференцирования. При обычном дифференцировании по функции находят её производную, а здесь по заданной производной пытаются восстановить функцию. Например, если известно, что производная равна 2x, нужно найти функцию, производная которой имеет такой вид.

Предполагаемую первообразную проверяют прямым вычислением производной. Если для F(x) = x³ найти производную, получится 3x², то есть заданная функция действительно совпадёт с результатом. Такой способ надёжнее догадки: он превращает проверку в точное равенство выражений.

У одной функции бывает много первообразных, потому что производная постоянного числа равна нулю. Например, производные x², x² + 5 и x² − 12 одинаковы и равны 2x. Значит, добавление или вычитание числа изменяет график по вертикали, но не меняет производную.

Если F и G — две первообразные одной функции на промежутке, то (F − G)′ = F′ − G′ = 0. Функция с нулевой производной на промежутке постоянна, поэтому F(x) − G(x) = C. Отсюда следует, что запись F(x) + C содержит все первообразные, а не только некоторые из них.

Первообразная всегда рассматривается относительно конкретного промежутка. Формула может быть верной на одном интервале и не иметь смысла на другом, если там функция не определена. Для 1/x нельзя брать промежуток, содержащий ноль, а на каждом из интервалов (−∞; 0) и (0; +∞) равенство проверяют отдельно.

Первообразная и проверка её определения

Пользуйтесь таблицей так: сначала выберите заданную функцию и возможную первообразную, затем проверьте её производную. Последний столбец получают добавлением произвольной постоянной C. Для 1/x обязательно учитывайте ограничение x ≠ 0 и выбранный промежуток.

Разбор задач

Проверка первообразной на всей числовой прямой

Условие: проверить, является ли F(x) = x³ первообразной функции f(x) = 3x² на промежутке ℝ. Нужно сопоставить производную предложенной функции с заданной формулой.

1. Находим производную: F′(x) = (x³)′ = 3x².
2. Сравниваем результат с f(x): получаем F′(x) = f(x).
3. Равенство верно при любом действительном x, поэтому оно выполняется на всём промежутке ℝ.

Ответ: F(x) = x³ является первообразной функции 3x² на ℝ.

Нахождение всех первообразных по одной известной

Условие: найти все первообразные функции f(x) = 4x − 2 на ℝ, если одна из них — F(x) = 2x² − 2x. Известная функция уже проверена как первообразная, поэтому остаётся описать остальные.

1. Любые две первообразные одной функции отличаются на постоянную.
2. Прибавляем к данной первообразной произвольное число: G(x) = 2x² − 2x + C.
3. Проверяем: G′(x) = 4x − 2 + 0 = 4x − 2. Теорема о разности первообразных гарантирует, что других вариантов, кроме этого семейства, нет.

Ответ: G(x) = 2x² − 2x + C, где C — любое действительное число.

Первообразная для 1/x на отрицательном промежутке

Условие: определить, является ли F(x) = ln|x| первообразной f(x) = 1/x на промежутке (−∞; 0), и записать все первообразные. Этот интервал не содержит ноль, поэтому функция 1/x там определена.

1. Используем формулу производной: (ln|x|)′ = 1/x при x ≠ 0.
2. На всём промежутке (−∞; 0) условие x ≠ 0 выполнено, значит, F′(x) = f(x).
3. Добавляем постоянную интегрирования, получая ln|x| + C. На отрицательном промежутке это также можно записать как ln(−x) + C.

Ответ: да, F(x) = ln|x| является первообразной; все первообразные имеют вид ln|x| + C на (−∞; 0).

Типичные ошибки

1. Записывают только одну первообразную. Например, отвечают x² вместо x² + C. Ошибка возникает из-за того, что найденный пример принимают за полный ответ; проверьте себя вопросом: указаны ли все возможные сдвиги на постоянное число?

2. Вместо производной находят интеграл. Определение первообразной проверяется равенством F′(x) = f(x), поэтому вычисление интеграла само по себе не является критерием. Сначала продифференцируйте предложенную функцию и сравните результат с заданной.

3. Разрешают разность на произвольную функцию. Если две первообразные относятся к одной функции, производная их разности равна нулю, значит, разность постоянна. Для проверки найдите производную разности: она должна оказаться равной нулю на всём промежутке.

4. Игнорируют промежуток и область определения. Формула для 1/x неприменима в точке ноль, а выражение ln|x| рассматривается только при x ≠ 0. Перед вычислениями проверьте, что функция определена в каждой точке указанного интервала.

Связь с другими темами

Для изучения первообразной нужны определение производной и формулы производных элементарных функций. Первообразная становится основой неопределённого интеграла: запись ∫f(x)dx означает семейство F(x) + C. Позже первообразные используют для вычисления определённых интегралов и восстановления функции по её производной.

Что запомнить

• F — первообразная f, если F′(x) = f(x) на рассматриваемом промежутке.
• Чтобы проверить первообразную, нужно найти её производную.
• Если F — первообразная f, то F + C также первообразная f.
• Любые две первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную.
• При записи всех первообразных произвольную постоянную обозначают C.
• Учитывай промежуток, на котором задана функция и проверяется равенство производных.