"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Первообразная помогает восстановить функцию по её производной, а интегрирование — обратное дифференцированию действие. Все первообразные одной функции образуют семейство, отличающееся постоянной C. Определённый интеграл — число, которое можно понимать как предел суммирования значений функции на частях отрезка; при неотрицательной функции он задаёт площадь под графиком. Формула Ньютона — Лейбница позволяет вычислить интеграл через значения первообразной на концах отрезка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первообразная функции f на рассматриваемом промежутке — это функция F, производная которой равна f: F′(x) = f(x). Иначе говоря, по заданной скорости изменения мы ищем исходную зависимость. Это понятие нужно, чтобы решать обратную задачу по отношению к нахождению производной.
Неопределённый интеграл функции f — семейство всех её первообразных; его записывают так: ∫f(x)dx = F(x) + C. Здесь dx указывает переменную интегрирования, а C — произвольная постоянная. Такая запись полезна, когда нужно получить не одну функцию, а все функции с данной производной.
Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x)dx — число, связанное с накопленным изменением функции на отрезке [a; b]. Буквы a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования. Интеграл помогает суммировать непрерывно меняющуюся величину, например находить площадь под графиком.
Формула Ньютона — Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной F: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). Она позволяет найти интеграл, вычислив значения F на концах отрезка. Поэтому для практического вычисления сначала ищут первообразную подынтегральной функции.
Нахождение первообразной — обратная задача к дифференцированию. При дифференцировании по функции получают скорость её изменения, а здесь известна скорость, и требуется восстановить функцию. Например, если производная равна 2x, нужно найти выражение, производная которого даёт 2x; проверка производной сразу подтверждает догадку.
У одной функции обычно не одна первообразная, а целое семейство. Если F′(x) = f(x), то производная функции F(x) + C тоже равна f(x), потому что производная постоянной C равна нулю. Поэтому нельзя различить такие функции по их производным; запись + C включает их все. На промежутке любые две первообразные одной и той же функции отличаются постоянной.
Правила интегрирования следуют из линейности производной. Производная суммы F + G равна сумме F′ + G′, поэтому если F′ = f и G′ = g, то F + G — первообразная f + g. Аналогично производная kF равна kF′ при постоянном k, значит, множитель можно вынести за знак интеграла. Эти правила позволяют разбирать выражение на более простые слагаемые.
Определённый интеграл можно представить как предел суммирования значений функции на всё более мелких частях отрезка. На каждом маленьком отрезке берут значение функции и умножают на длину части, затем складывают полученные произведения. При измельчении разбиения такие суммы стремятся к определённому числу — интегралу. Если функция неотрицательна, эти слагаемые приближают площади узких прямоугольников, а предел даёт площадь под графиком.
Формула Ньютона — Лейбница показывает, что накопленное изменение на отрезке можно найти по первообразной. Поскольку F′ = f, разность F(b) − F(a) складывает изменения F, возникающие при изменении аргумента от a до b. Поэтому вместо вычисления предельных сумм достаточно найти F и подставить пределы. Порядок важен: значение при верхнем пределе берут первым, затем вычитают значение при нижнем.
| Функция f(x) | Первообразная F(x) | Условие |
|---|---|---|
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n + 1) | n ≠ −1 |
| 1/x | ln|x| | x ≠ 0 |
| eˣ | eˣ | для всех x |
| sin x | −cos x | для всех x |
| cos x | sin x | для всех x |
| k f(x) | kF(x) | если F′(x) = f(x) |
| f(x) + g(x) | F(x) + G(x) | если F′(x) = f(x), G′(x) = g(x) |
Для неопределённого интеграла к каждой первообразной из таблицы добавляй + C. Если выражение состоит из суммы, интегрируй слагаемые отдельно, а постоянный множитель выноси за знак интеграла. Перед применением степенной формулы проверь условие n ≠ −1.
Разделим выражение на два слагаемых: так проще применить формулы по отдельности. Для 3x² используем степенную формулу с n = 2, а постоянное слагаемое −2 имеет первообразную −2x. В конце добавим C, потому что требуется всё семейство функций.
Проверка: производная x³ − 2x + C равна 3x² − 2. Значит, полученная функция действительно является первообразной исходной функции. Ответ: F(x) = x³ − 2x + C.
Пределы интегрирования показывают, что после нахождения первообразной нужно подставить x = 2 и x = 0. Сначала найдём первообразную каждого слагаемого, а затем применим формулу Ньютона — Лейбница. В разности верхний предел ставится первым.
Постоянную C при вычислении определённого интеграла можно не записывать: она сократилась бы в разности. Ответ: 6.
Площадь под графиком можно заменить определённым интегралом, если функция на всём отрезке неотрицательна. Здесь x² ≥ 0 при любом x, поэтому график не лежит ниже оси Ox на отрезке [0; 2]. Значит, площадь равна интегралу от x² на этом отрезке.
Полученное значение положительно, что соответствует геометрическому смыслу площади. Единицы площади зависят от того, в каких единицах заданы оси. Ответ: S = 8/3 квадратной единицы.
Иногда записывают только одну первообразную и забывают + C. Так происходит, когда результат воспринимают как единственную функцию, хотя константа при дифференцировании исчезает. Проверь себя: к результату можно прибавить любое число, и производная останется прежней; значит, в неопределённом интеграле нужна C.
Степенную формулу применяют и при n = −1, хотя тогда знаменатель n + 1 равен нулю. Это исключение часто теряется, если формулу запоминают без условия. Для x⁻¹ = 1/x используй первообразную ln|x|, а правильность проверь дифференцированием.
В формуле Ньютона — Лейбница могут перепутать порядок вычитания и написать F(a) − F(b). Ошибка возникает из-за того, что пределы воспринимают как обычные подстановки без учёта их роли. Подставляй сначала верхний предел b, затем нижний a и сверяй запись с F(b) − F(a).
Определённый интеграл не всегда равен геометрической площади: он учитывает знак функции относительно оси Ox. Если график находится ниже оси, вклад интеграла отрицателен, хотя площадь положительна. Проверь знак функции на отрезке; при смене знака разбей его на части и складывай площади, беря их положительными.
Для поиска первообразных нужно знать производную функции и таблицу производных: интегрирование обращает дифференцирование. Поэтому найденный результат удобно проверять производной. Такое взаимодействие двух операций помогает переходить от описания скорости изменения к исходной величине.
Определённый интеграл применяют для вычисления площадей фигур и решения задач на накопленное изменение. Например, суммирование малых изменений позволяет определить общий результат за промежуток. Площадь под графиком — один из наглядных случаев этого общего подхода.
Почему к первообразной нужно обязательно добавлять постоянную C?
Потому что производная любой постоянной равна нулю: добавление C не меняет производную найденной функции. Поэтому запись F(x) + C охватывает все первообразные, а не только одну из них.
Как проверить, правильно ли найден неопределённый интеграл?
Найди производную от полученного выражения, не забыв, что производная C равна нулю. Если результат совпал с подынтегральной функцией, интеграл найден верно.
Чем определённый интеграл отличается от неопределённого?
Неопределённый интеграл обозначает семейство первообразных и содержит произвольную постоянную. Определённый интеграл с пределами a и b — это число, которое вычисляют как разность значений первообразной на концах отрезка.
Почему определённый интеграл иногда получается отрицательным?
Интеграл учитывает знак функции: значения ниже оси Ox дают отрицательный вклад. Если функция отрицательна на всём отрезке, интеграл отрицателен, хотя геометрическая площадь между графиком и осью остаётся положительной.
Как по формуле Ньютона — Лейбница найти площадь фигуры?
Если график не опускается ниже оси Ox на отрезке [a; b], площадь равна ∫ₐᵇ f(x)dx. Найди первообразную F и вычисли F(b) − F(a); если функция меняет знак, отрезок нужно разбить и учитывать площади отдельных частей положительными.
§ 6. Первообразная и интеграл
