13. Первообразная

Определения и обозначения

Первообразная функции f на промежутке — это функция F, дифференцируемая на данном промежутке и такая, что F′(x) = f(x). Иными словами, если известна f, нужно найти функцию, которая после дифференцирования превращается в неё. Это определение задаёт основной способ проверки ответа.

Если F — первообразная функции f, то F(x) + C также является первообразной, где C — любое постоянное число. Все первообразные одной функции на одном промежутке отличаются только таким постоянным слагаемым. Поэтому нельзя ограничиваться одной найденной функцией, если требуется указать все первообразные.

Неопределённый интеграл функции f — это совокупность всех её первообразных. Его записывают так: ∫f(x) dx = F(x) + C, где F′(x) = f(x). Символ dx показывает, по какой переменной выполняется интегрирование, а C сохраняет произвольность постоянного слагаемого.

Как это устроено

Обычное дифференцирование идёт от функции к её производной: по F находят F′. Первообразная обращает эту задачу: задана функция f, а найти нужно такую F, чтобы F′ = f. Например, поскольку производная x³ равна 3x², функция x³ является первообразной для 3x².

К найденной функции прибавляют любую константу, потому что производная постоянного слагаемого равна нулю. По правилу производной суммы имеем (F(x) + C)′ = F′(x) + C′ = f(x) + 0. Значит, добавление C не изменяет требуемую производную.

Пусть F и G — две первообразные одной функции f на одном промежутке. Тогда (F − G)′ = F′ − G′ = f − f = 0. Функция, имеющая нулевую производную на промежутке, постоянна, поэтому F − G = C и G = F − C.

Таблица производных помогает находить первообразные в обратном направлении. Нужно сопоставить заданную функцию с производной известной функции, учесть числовой множитель и разложить сумму на отдельные слагаемые. Например, для 6x² − 2 сначала используют первообразные 6x² и −2, а затем складывают результаты.

Готовый ответ проверяют дифференцированием, а не только внешним сходством с формулой. При этом нужно убедиться, что производная совпадает с f(x) на указанном промежутке. Такая проверка особенно полезна для степенных выражений, знаков перед тригонометрическими функциями и логарифмов.

Таблица первообразных

Чтобы воспользоваться таблицей, найдите в левом столбце заданную функцию или её часть. Затем перепишите соответствующую первообразную, не забыв про множители, знаки и постоянную C.

Для суммы применяют правило поэлементно: первообразная суммы равна сумме первообразных. После подстановки результата полезно выполнить обратную проверку дифференцированием.

Разбор задач

Задача 1. Найдите все первообразные функции f(x) = 3x² − 2.

Нужно подобрать первообразную для каждого слагаемого отдельно, а затем объединить результаты. Числовой множитель сохраняется при интегрировании.

1. Так как (x³)′ = 3x², первообразной для 3x² является x³.
2. Первообразная для −2 равна −2x, поскольку (−2x)′ = −2.
3. Складываем найденные выражения и добавляем произвольную константу: F(x) = x³ − 2x + C.

Ответ: F(x) = x³ − 2x + C.

Задача 2. Найдите первообразную функции f(x) = 2cos x + 1/x на промежутке x > 0.

Здесь функция является суммой двух частей, поэтому применяем таблицу к каждой из них. Условие x > 0 позволяет заменить ln|x| на ln x, но общий вид с модулем тоже был бы корректен.

1. Первообразная для 2cos x равна 2sin x.
2. Первообразная для 1/x равна ln|x|, а при x > 0 это ln x.
3. Объединяем результаты: F(x) = 2sin x + ln x + C.

Ответ: F(x) = 2sin x + ln x + C, x > 0. Проверка даёт F′(x) = 2cos x + 1/x.

Задача 3. Найдите первообразную f, если F(1) = 4 и F′(x) = 6x − 2.

Условие F′(x) = 6x − 2 означает, что сначала нужно найти все первообразные. Значение F(1) затем позволит выбрать одну из них и определить C.

1. Интегрируем слагаемые: F(x) = 3x² − 2x + C.
2. Подставляем x = 1 и F(1) = 4: 3 − 2 + C = 4.
3. Получаем C = 3, поэтому F(x) = 3x² − 2x + 3.

Ответ: F(x) = 3x² − 2x + 3. Дифференцирование возвращает 6x − 2, а значение в точке 1 равно 4.

Типичные ошибки

Забывают + C. В результате записывают только одну первообразную, хотя требуется совокупность всех функций. Ошибка возникает из-за того, что постоянное слагаемое не влияет на производную; проверьте, указана ли произвольная константа в общем ответе.

Неверно применяют формулу для xⁿ. Иногда показатель не увеличивают на единицу или не делят результат на новый показатель. Чтобы проверить себя, продифференцируйте xⁿ⁺¹/(n + 1): должен получиться xⁿ.

Путают знаки в тригонометрических формулах. Первообразная sin x — это −cos x, поскольку (−cos x)′ = sin x, а не cos x. Всегда выполняйте короткую проверку производной, особенно если перед выражением стоит знак минус.

Пишут ln x вместо ln|x| для 1/x. Такая запись учитывает только x > 0, хотя функция 1/x определена и при отрицательных x. Сверяйте ответ с промежутком: для общего случая без ограничения на знак используйте ln|x|.

Связь с другими темами

Для поиска первообразных нужны таблица производных и правила дифференцирования суммы и произведения функции на константу. Поэтому уверенное владение производной напрямую сокращает решение интегралов.

Первообразная становится основой определённого интеграла: с её помощью вычисляют площади фигур и другие накопленные величины. В дальнейшем связь между производной и интегралом формулируется в основной теореме математического анализа.

Что запомнить

• F — первообразная f, если F′(x) = f(x).
• К любой первообразной можно прибавить произвольную постоянную C.
• Все первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянное слагаемое.
• Неопределённый интеграл записывают как ∫f(x) dx = F(x) + C.
• Найденную первообразную можно проверить дифференцированием.
• При поиске первообразной учитывают область, на которой задана функция.