2.1. Первообразная

Определения и обозначения

Первообразная функции f на промежутке — функция F, дифференцируемая на этом промежутке и удовлетворяющая условию F′(x) = f(x). Иначе говоря, если продифференцировать F, получится исходная функция f. Такое определение помогает перевести задачу о поиске первообразной в знакомую задачу проверки производной.

Множество первообразных одной функции — все функции, производная каждой из которых равна этой функции; их графики отличаются вертикальным сдвигом. Например, функции x³/3, x³/3 + 2 и x³/3 − 5 имеют одну и ту же производную x². Это понятие нужно, чтобы не ограничиваться одной подходящей функцией, когда возможны все её сдвиги по вертикали.

Постоянная интегрирования C — произвольная постоянная, которую добавляют к первообразной при записи всего семейства первообразных. Буква C может обозначать любое число, поэтому запись F(x) + C охватывает разные функции с одинаковой производной. Если в задаче задано дополнительное условие, например значение функции в точке, оно помогает выбрать конкретное C.

Как это устроено

Понятие первообразной возникает из задачи, обратной дифференцированию: известна производная, а требуется восстановить функцию. При обычном дифференцировании мы переходим от функции к тому, как она меняется; здесь нужно пройти этот путь в обратную сторону. Например, зная, что производная равна 2x, можно искать функцию, дифференцирование которой даёт 2x.

Если F — первообразная функции f, то F(x) + C тоже является первообразной. Причина в том, что при дифференцировании сумма превращается в сумму производных: производная F равна f, а производная постоянной C равна нулю. Значит, добавление любого числа не меняет требуемую производную и даёт другие функции из того же семейства.

На промежутке любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную. Пусть это функции F и G: производные обеих равны f, поэтому производная их разности F − G равна f − f = 0. Функция с нулевой производной на промежутке постоянна, следовательно, F − G = C. Условие о промежутке существенно: оно позволяет сравнивать функции там, где они определены.

Чтобы найти первообразную, используют известные формулы дифференцирования в обратном направлении. Для суммы можно искать первообразные слагаемых отдельно, сохраняя их числовые множители и знаки. После нахождения результата его дифференцируют: такая проверка показывает, действительно ли восстановлена исходная функция, и помогает заметить ошибку в показателе степени или знаке.

Формулы первообразных применяют с учётом области определения и промежутков, на которых рассматриваются функции. Например, функция 1/x не определена при x = 0, поэтому нельзя рассматривать её первообразную на промежутке, проходящем через ноль. У тригонометрических функций тоже есть ограничения: выражения 1/cos²x и 1/sin²x определены только там, где знаменатель не равен нулю. Перед применением формулы выясни, где определена исходная функция.

Графики F(x) = x³/3 + C показывают, как изменение C сохраняет одну и ту же производную.

Основные функции и их первообразные

Сначала найди в левом столбце функцию, которую требуется проинтегрировать, а затем возьми соответствующую запись из среднего столбца. Правый столбец напоминает, где формула применима. После подстановки проверь ответ дифференцированием.

Разбор задач

Найти все первообразные функции f(x) = 6x²

Здесь дана степенная функция, поэтому удобно обратить формулу для производной степени. Нужно увеличить показатель x на единицу и разделить коэффициент перед степенью на новый показатель. В конце добавим постоянную, чтобы записать не одну функцию, а всё семейство.

1. Сравниваем 6x² с производной функции x³: (x³)′ = 3x². Чтобы получить коэффициент 6, умножаем x³ на 2. Поэтому возможная первообразная имеет вид 2x³.
2. Добавляем произвольную постоянную C: F(x) = 2x³ + C. Это учитывает все функции, производная которых равна 6x².
3. Проверяем: F′(x) = 6x² + 0 = 6x². Производная совпала с заданной функцией.

Ответ: F(x) = 2x³ + C.

Найти все первообразные функции f(x) = 2cos x − 3sin x

Функция состоит из двух слагаемых, поэтому ищем первообразную каждого отдельно. Коэффициенты 2 и −3 сохраняются, а знак при втором слагаемом особенно важно учесть. Для синуса нужна первообразная со знаком минус, потому что (cos x)′ = −sin x.

1. Для первого слагаемого получаем 2sin x, поскольку (sin x)′ = cos x. Для второго используем, что первообразная sin x — −cos x, поэтому первообразная выражения −3sin x равна 3cos x.
2. Складываем полученные выражения и добавляем постоянную: F(x) = 2sin x + 3cos x + C.
3. Проверяем результат: F′(x) = 2cos x − 3sin x. Это совпадает с исходной функцией, значит, знаки и множители выбраны верно.

Ответ: F(x) = 2sin x + 3cos x + C.

Найти первообразную функции f(x) = 4x³ + 2, если её график проходит через точку (1; 5)

Сначала найдём все первообразные, не используя точку. Условие о графике означает, что при x = 1 значение функции F равно 5; это позволит выбрать одну первообразную из семейства. Поэтому после интегрирования подставим координаты точки и решим уравнение относительно C.

1. Первообразная 4x³ равна x⁴, поскольку (x⁴)′ = 4x³. Первообразная числа 2 равна 2x, поэтому общее семейство имеет вид F(x) = x⁴ + 2x + C.
2. Подставляем координаты точки: F(1) = 5. Получаем 1⁴ + 2 · 1 + C = 5, то есть 3 + C = 5.
3. Решаем уравнение: C = 2. Подстановка найденной функции в условие даёт F(1) = 1 + 2 + 2 = 5, как и требуется.

Ответ: F(x) = x⁴ + 2x + 2.

Типичные ошибки

• Не добавляют C и получают только одну первообразную вместо всего семейства. Так бывает, когда забывают, что производная постоянной равна нулю и потому значение постоянной невозможно определить по одной лишь производной. Проверь себя: запиши к найденному выражению «+ C» и убедись, что производная от этого слагаемого равна нулю.

• При поиске первообразной степенной функции забывают увеличить показатель на единицу или разделить на новый показатель. Например, для x² нужна функция x³/3, а не x³ или x³/2. Проверь результат дифференцированием: производная должна точно вернуть исходную степень и её коэффициент.

• Путают знаки в тригонометрических формулах и пишут для sin x первообразную cos x. Ошибка возникает из-за того, что производная cos x равна −sin x, а не sin x. Дифференцируй полученный ответ и сверяй знак каждого слагаемого с условием.

• Применяют формулу для 1/x на промежутке, проходящем через x = 0. В этой точке исходная функция не определена, поэтому такой промежуток не подходит для первообразной. Перед вычислениями проверь область определения и рассмотри промежуток, целиком лежащий по одну сторону от нуля.

Связь с другими темами

Для поиска первообразных нужны определение производной и таблица производных: знакомые правила используются в обратном направлении. Поэтому умение дифференцировать помогает не только находить первообразную, но и проверять её. Позже первообразные станут основой для изучения определённого интеграла. С его помощью вычисляют, в частности, площади фигур.

Что запомнить

• F — первообразная f, если F′(x) = f(x).
• К любой найденной первообразной добавляют произвольную постоянную C.
• На одном промежутке любые две первообразные одной функции отличаются на постоянную.
• Правильность найденной первообразной проверяют дифференцированием.
• При использовании формул необходимо учитывать область определения.